1. Proceso de Gram-Schmidt

El proceso de Gram-Schmidt es un algoritmo que nos permite encontrar una base ortogonal de un subespacio $W$ de $\mathbb{R}^{n}$ a partir de una base dada para $W$. Supongamos entonces que $\left\{ x_{1},x_{2},\ldots ,x_{k}\right\}$ es una base para un subespacio $W$ de $\mathbb{R}^{n}.$ Definamos

1. Paso 1. $v_{1} =x_{1}$, $W_{1}=\mathrm{gen}\left( x_{1}\right)$.
2. Paso 2. $v_{2}= x_{2}-\dfrac{v_{1}\cdot x_{2}} {v_{1}\cdot v_{1}}v_{1}$, $W_{2}=\mathrm{gen}\left( x_{1},x_{2}\right)$.
3. Paso 3. $v_{3}=x_{3}-\dfrac{v_{1}\cdot x_{3}} {v_{1}\cdot v_{1}}v_{1}-\dfrac{v_{2}\cdot x_{3}}{v_{2}\cdot v_{2}}v_{2}$, $W_{3}=\mathrm{gen}\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right)$ .
4. Paso $k$. $v_{k}=x_{k}-\dfrac{v_{1}\cdot x_{k}}{v_{1}\cdot v_{1}}v_{1}-\dfrac{v_{2}\cdot x_{k}}{v_{2}\cdot v_{2}}v_{2}-\cdots -\dfrac{v_{k-1}\cdot x_{k}}{v_{k-1}\cdot v_{k-1}}v_{k-1}$, $W_{k}=W$.

Entonces, para cada $i=1,2,\ldots ,k,$ $\left\{ v_{1},v_{2},\ldots ,v_{i}\right\}$ es una base ortogonal para $W_{i}.$ En particular, $\left\{ v_{1},v_{2},\ldots ,v_{k}\right\}$ es una base ortogonal para $W.$ Si hacemos $q_{i}=\dfrac{1}{\left\Vert v_{i}\right\Vert } v_{i},i=1,\ldots ,k,$ entonces $\left\{ q_{1},q_{2},\ldots ,q_{k}\right\}$ es una base ortonormal para $W.$

Ejemplo: Sean $$\begin{equation*} W=\mathrm{Ren}\left( A\right) ,\qquad \text{donde }A=\left[ \begin{array}{rrr} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ -2 & 3 & 1 \end{array} \right] ,\qquad \text{y}\qquad u=\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right]. \end{equation*}$$

1. Halle una base ortogonal para $W.$
2. Halle $\mathrm{proy}_{W}\left( u\right)$ y $\mathrm{perp}_{W}\left( u\right).$
3. Halle $W^{\perp }$ y una base para éste.

Solución:

1. Apliquemos eliminación gaussiana a $A:$ $$\begin{equation*} A\rightarrow \cdots \rightarrow \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right] =U\qquad \Rightarrow \qquad \mathcal{C}=\left\{ x_{1}=\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right] ,x_{2}=\left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right] \right\} \text{ es una base para }W. \end{equation*}$$ Apliquemos el proceso de Gram-Schmidt a la base $\mathcal{C} =\left\{ x_{1},x_{2}\right\}$ de $W:$ $$\begin{equation*} v_{1}=x_{1}=\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right] \qquad \text{y}\qquad v_{2}=x_{2}- \left(\dfrac{v_{1}\cdot x_{2}}{v_{1}\cdot v_{1}}\right) v_{1}=\left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right] -\dfrac{1}{2}\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right] =\dfrac{1}{2}\left[ \begin{array}{r} -1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right]. \end{equation*}$$ Luego, $\mathcal{B}=\left\{ v_{1},v_{2}\right\}$ es una base ortogonal para $W.$
2. Por definición, $$\begin{equation*} \mathrm{proy}_{W}\left( u\right) = \left(\dfrac{v_{1}\cdot u}{v_{1}\cdot v_{1}}\right) v_{1}+ \left(\dfrac{v_{2}\cdot u}{v_{2}\cdot v_{2}}\right) v_{2}=\dfrac{2}{2}\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right] +\dfrac{1}{\tfrac{6}{4}}\left[ \begin{array}{r} -1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right] +\dfrac{1}{3}\left[ \begin{array}{r} -1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right] =\dfrac{2}{3}\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 2 \end{array} \right] \end{equation*}$$ y $$\begin{equation*} \mathrm{perp}_{W}\left( u\right) =u-\mathrm{proy}_{W}\left( u\right) =\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right] -\dfrac{2}{3}\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 2 \end{array} \right] =\dfrac{1}{3}\left[ \begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ -1 \end{array} \right] \end{equation*}$$
3. Por teorema, $$\begin{equation*} W^{\perp }=\left( \mathrm{Ren}\left( A\right) \right) ^{\perp }= \mathrm{Nul}\left( A\right) =\mathrm{Nul}\left( U\right) =\mathrm{Nul}\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right] \quad \Rightarrow \quad \left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{r} -z \\ -z \\ z \end{array} \right] =z\left[ \begin{array}{r} -1 \\ -1 \\ 1 \end{array} \right]. \end{equation*}$$ Por tanto, $W^{\perp }=\mathrm{gen}\left( \left[ \begin{array}{r} -1 \\ -1 \\ 1 \end{array} \right] \right)$ y $\left\{ \left[ \begin{array}{r} -1 \\ -1 \\ 1 \end{array} \right] \right\}$ es una base para $W^{\perp }$.

Ejemplo: Encuentre una base ortonormal para el subespacio $$\begin{equation*} W=\left\{ \left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ w \end{array} \right] \in \mathbb{R}^{4}:x-y-z-w=0\right\} \text{.} \end{equation*}$$

Solución: Notemos que $W=\mathrm{Nul}\left( \begin{bmatrix} 1 & -1 & -1 & -1 \end{bmatrix} \right)$. Luego, $$\begin{equation*} \left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ w \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} y+z+w \\ y \\ z \\ w \end{array} \right] =y\underset{x_{1}}{\underbrace{\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right] }}+\;z\underset{x_{2}}{\underbrace{\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right] }}+\;w\underset{x_{3}}{\underbrace{\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right] }}. \end{equation*}$$ Apliquemos el proceso de Gram-Schmidt a la base $\left\{x_{1},x_{2},x_{3}\right\}$ de $W:$ $$\begin{eqnarray*} v_{1} &=&x_{1}=\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right] ,\qquad \qquad v_{2}= x_{2}-\left(\dfrac{v_{1}\cdot x_{2}}{v_{1}\cdot v_{1}}\right) v_{1}=\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right] -\frac{1}{2}\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right] =\dfrac{1}{2}\left[ \begin{array}{r} 1 \\ -1 \\ 2 \\ 0 \end{array} \right] , \\ v_{3} &=&x_{3}- \left(\dfrac{v_{1}\cdot x_{3}}{v_{1}\cdot v_{1}}\right)v_{1}- \left(\dfrac{v_{2}\cdot x_{3}}{v_{2}\cdot v_{2}}\right)v_{2} =\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right] -\dfrac{1}{2}\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right] -\dfrac{1}{6}\left[ \begin{array}{r} 1 \\ -1 \\ 2 \\ 0 \end{array} \right] =\dfrac{1}{3}\left[ \begin{array}{r} 1 \\ -1 \\ -1 \\ 3 \end{array} \right] . \end{eqnarray*}$$ Así, $\left\{ v_{1},v_{2},v_{3}\right\}$ es una base ortogonal para $W.$ Por último, hagamos $$\begin{equation*} q_{1}=\dfrac{1}{\left\Vert v_{1}\right\Vert }v_{1} =\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right] ,\qquad q_{2}=\dfrac{1}{\left\Vert v_{2}\right\Vert }v_{2} =\dfrac{\sqrt{6}}{6}\left[ \begin{array}{r} 1 \\ -1 \\ 2 \\ 0 \end{array} \right] \qquad \text{y}\qquad q_{3} =\dfrac{1}{\left\Vert v_{3}\right\Vert } v_{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{6}\left[ \begin{array}{r} 1 \\ -1 \\ -1 \\ 3 \end{array} \right] . \end{equation*}$$ Por tanto, $\left\{ q_{1},q_{2},q_{3}\right\}$ es una base ortonormal para $W.$

Ejercicios de práctica

Te invitamos a practicar los conocimientos aprendidos en esta parte de la clase realizando los siguientes ejercicios.