1. Subespacios de RnRn
Definición: Un subespacio de RnRn es un subconjunto SS de vectores en RnRn que satisface las siguientes propiedades:
- El vector 00 está en S.S.
- Si uu y vv están en S,S, entonces u+vu+v está en SS (esto es, SS es cerrado bajo la suma).
- Si uu está en SS y c∈c∈ R,R, entonces cucu está en SS (esto es, SS es cerrado bajo el producto escalar).
Nota: Los conjuntos {0}{0} y RnRn son subespacios de RnRn y son llamados subespacios triviales.
Ejemplo: Demostrar que toda recta en R3R3 que pase por el origen es subespacio de R3.R3.
Solución: Si LL es una recta en R3R3 que pasa por el origen, entonces LL tiene la forma L={λ[abc]|λ∈R}, donde [abc] es un vector director de L.L=⎧⎪⎨⎪⎩λ⎡⎢⎣abc⎤⎥⎦∣∣
∣∣λ∈R⎫⎪⎬⎪⎭, donde ⎡⎢⎣abc⎤⎥⎦ es un vector director de L. Veamos que LL satisface las condiciones de ser subespacio.
- Tomando λ=0,λ=0, tenemos que 0=[000]=0[abc]∈L.0=⎡⎢⎣000⎤⎥⎦=0⎡⎢⎣abc⎤⎥⎦∈L.
- Sean u=λ1[abc],v=λ2[abc]u=λ1⎡⎢⎣abc⎤⎥⎦,v=λ2⎡⎢⎣abc⎤⎥⎦ vectores en L.L. Por tanto u+v=λ1[abc]+λ2[abc]=(λ1+λ2)[abc]∈L.u+v=λ1⎡⎢⎣abc⎤⎥⎦+λ2⎡⎢⎣abc⎤⎥⎦=(λ1+λ2)⎡⎢⎣abc⎤⎥⎦∈L.
- Sea u=λ[abc]∈Lu=λ⎡⎢⎣abc⎤⎥⎦∈L y d∈R.d∈R. Luego, du=(dλ)[abc]∈Ldu=(dλ)⎡⎢⎣abc⎤⎥⎦∈L. De todo lo anterior, LL es un subespacio de R3.R3.
Ejemplo: ¿Es S={[xyz]∈R3|x+y+z+1=0}S=⎧⎪⎨⎪⎩⎡⎢⎣xyz⎤⎥⎦∈R3∣∣
∣∣x+y+z+1=0⎫⎪⎬⎪⎭ un subespacio de R3?R3?
Solución: SS no es subespacio de R3R3 ya que 0∉S0∉S.
Ejemplo: ¿Es T={[xyz]∈R3|x2+y2+z=0}T=⎧⎪⎨⎪⎩⎡⎢⎣xyz⎤⎥⎦∈R3∣∣
∣∣x2+y2+z=0⎫⎪⎬⎪⎭ un subespacio de R3?R3?
Solución: Notemos que 0∈T.0∈T. Pero, TT no es cerrado bajo la suma. Por ejemplo, u=[1−1−2],v=[01−1]∈T.u=⎡⎢⎣1−1−2⎤⎥⎦,v=⎡⎢⎣01−1⎤⎥⎦∈T. Sin embargo, u+v=[10−3]∉T,u+v=⎡⎢⎣10−3⎤⎥⎦∉T, dado que 12+02+(−3)=−2≠0.12+02+(−3)=−2≠0. Luego, TT no es subespacio.
Ejemplo: ¿Es U={[xy]∈R2|x≥0yy≥0}U={[xy]∈R2∣∣∣x≥0yy≥0} un subespacio de R2?R2?
Solución: Se puede verificar que [00]∈U[00]∈U y que UU es cerrado bajo la suma. Pero, UU no es cerrado bajo el producto escalar. Por ejemplo, si tomamos u=[12]∈Uu=[12]∈U y c=−1,c=−1, entonces cu=[−1−2]∉U.cu=[−1−2]∉U. Así, UU no es subespacio.
Teorema: Si v1,v2,…,vkv1,v2,…,vk son vectores en Rn,Rn, entonces gen(v1,v2,…,vk)gen(v1,v2,…,vk) es un subespacio de Rn.Rn.