1. Subespacios de RnRn

Definición: Un subespacio de RnRn es un subconjunto SS de vectores en RnRn que satisface las siguientes propiedades:

  1. El vector 00 está en S.S.
  2. Si uu y vv están en S,S, entonces u+vu+v está en SS (esto es, SS es cerrado bajo la suma).
  3. Si uu está en SS y cc R,R, entonces cucu está en SS (esto es, SS es cerrado bajo el producto escalar).

Nota: Los conjuntos {0}{0} y RnRn son subespacios de RnRn y son llamados subespacios triviales.



Ejemplo: Demostrar que toda recta en R3R3 que pase por el origen es subespacio de R3.R3.

Solución: Si LL es una recta en R3R3 que pasa por el origen, entonces LL tiene la forma L={λ[abc]|λR}, donde [abc] es un vector director de L.L=λabc∣ ∣λR, donde abc es un vector director de L. Veamos que LL satisface las condiciones de ser subespacio.

  1. Tomando λ=0,λ=0, tenemos que 0=[000]=0[abc]L.0=000=0abcL.
  2. Sean u=λ1[abc],v=λ2[abc]u=λ1abc,v=λ2abc vectores en L.L. Por tanto u+v=λ1[abc]+λ2[abc]=(λ1+λ2)[abc]L.u+v=λ1abc+λ2abc=(λ1+λ2)abcL.
  3. Sea u=λ[abc]Lu=λabcL y dR.dR. Luego, du=(dλ)[abc]Ldu=(dλ)abcL. De todo lo anterior, LL es un subespacio de R3.R3.

 



Ejemplo: ¿Es S={[xyz]R3|x+y+z+1=0}S=xyzR3∣ ∣x+y+z+1=0 un subespacio de R3?R3?

Solución: SS no es subespacio de R3R3 ya que 0S0S.

Ejemplo: ¿Es T={[xyz]R3|x2+y2+z=0}T=xyzR3∣ ∣x2+y2+z=0 un subespacio de R3?R3?

Solución: Notemos que 0T.0T. Pero, TT no es cerrado bajo la suma. Por ejemplo, u=[112],v=[011]T.u=112,v=011T. Sin embargo, u+v=[103]T,u+v=103T, dado que 12+02+(3)=20.12+02+(3)=20. Luego, TT no es subespacio.

Ejemplo: ¿Es U={[xy]R2|x0yy0}U={[xy]R2x0yy0} un subespacio de R2?R2?

Solución: Se puede verificar que [00]U[00]U y que UU es cerrado bajo la suma. Pero, UU no es cerrado bajo el producto escalar. Por ejemplo, si tomamos u=[12]Uu=[12]U y c=1,c=1, entonces cu=[12]U.cu=[12]U. Así, UU no es subespacio.

Teorema: Si v1,v2,,vkv1,v2,,vk son vectores en Rn,Rn, entonces gen(v1,v2,,vk)gen(v1,v2,,vk) es un subespacio de Rn.Rn.