2. Subespacios vectoriales

Definición: Un subconjunto $W$ de un espacio vectorial $V$ se denomina subespacio de $V$ si $W$ mismo es un espacio vectorial con los mismos escalares, adición y multiplicación por escalares que $V.$

Teorema: Sean $V$ un espacio vectorial y $W$ un subconjunto no vacío de $V$. Entonces $W$ es un subespacio de $V$ si y sólo si

1. Si $u,v\in W,$ entonces $u+v\in W$, es decir, $W$ es cerrado bajo la suma.
2. Si $u\in W$ y $c\in \mathbb{R},$ entonces $cu\in W$, es decir, $W$ es cerrado bajo el producto por escalar.

Ejercicio: ¿Cuál de los siguientes subconjuntos del espacio vectorial $V$ dado es subespacio?

1. $W=\left\{ A\in M_{n\times n}\mid A\text{ es simétrica}\right\}$ y $V=M_{n\times n}.$
2. $H=\left\{ f\in \mathcal{F}\mid f^{\prime \prime }+f=-1\right\}$ y $V= \mathcal{F}.$
3. $\mathcal{D}=\left\{ f\in \mathcal{F}\mid f\text{ es diferenciable}\right\}$ y $V=\mathcal{F}.$
4. $K=\left\{ A\in M_{3\times 3}\mid a_{11}=a_{22}a_{33}\right\}$ y $V=M_{3\times 3}.$
5. $S=\left\{ f\in \mathcal{F}\mid f^{\prime \prime }+f=0\right\}$ y $V=\mathcal{F}.$
6. $G=\left\{ a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}\mid a_{1}=a_{2}=a_{3}\right\}$ y $V= \mathcal{P}_{3}.$

El siguiente lema nos da una condición necesaria, pero no suficiente, para que un subconjunto sea subespacio.

Lema: Si $W$ es un subespacio de $V$, entonces $0\in W.$

Ejemplo: ¿Es $S=\left\{ A\in M_{2\times 2}\mid a_{11}a_{22}=0\right\}$ un subespacio de $M_{2\times 2}$?
Solución: La respuesta es que $S$ no es subespacio de $M_{2\times 2}$. Para ver esto, notemos que $A=\left[ \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} \right] \in S$ y $B=\left[ \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right] \in S.$ Pero, $A+B=\left[ \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{array} \right] \notin S.$

3. Conjuntos generadores

Definición: El conjunto de todas las combinaciones lineales de un conjunto de vectores $S=\left\{ v_{1},v_{2},\ldots ,v_{k}\right\} ,$ en un espacio vectorial $V,$ se conoce como el espacio generado por $v_{1},v_{2},\ldots ,v_{k}$ y se denota por $\mathrm{gen}\left( v_{1},v_{2},\ldots ,v_{k}\right) =\mathrm{gen}\left( S\right).$ Si $V= \mathrm{gen}\left( S\right) ,$ $S$ se denomina un conjunto generador para $V$ y se dice que $V$ es generado por $S$.

Teorema: $\mathrm{gen}\left( v_{1},v_{2},\ldots ,v_{k}\right)$ es un subespacio de $V.$

Ejemplo: Muestre que $H=\left\{ a\mathrm{sen}\left( x\right) +b\cos \left( x\right) \mid a,b\in \mathbb{R}\right\}$ es un subespacio de $\mathcal{F}.$

Solución: Notemos que $H=\mathrm{gen}(\mathrm{sen}x,\cos x).$ Por el teorema anterior, $H$ es un subespacio de $\mathcal{F}.$

Ejemplo: Muestre que $W=\{a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3} \mid a_{1}-a_{2}-a_{3}=0\}$ es un subespacio de $\mathcal{P}_{3}.$

Solución: Como $a_{1}=a_{2}+a_{3},$ tenemos que $a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}=a_{0}\cdot 1+a_{2}(x+x^{2})+a_{3}(x+x^{3}).$ Luego, $W=\mathrm{gen}(1,x+x^{2},x+x^{3}).$ Por tanto, $W$ es un subespacio de $\mathcal{P}_{3}.$

Ejercicios de práctica

Te invitamos a practicar los conocimientos aprendidos en esta parte de la clase realizando los siguientes ejercicios.