2. Composición de transformaciones lineales

Definición: Sean $T:V\rightarrow W$ y $S:W\rightarrow U$ transformaciones lineales. La composición de $S$ con $T$ es la transformación $ S\circ T:V\rightarrow U$ definida por \begin{equation*} (S\circ T)(v)=S(T(v)),\qquad \text{para todo }v\in V. \end{equation*}

Teorema: Si $T:V\rightarrow W$ y $S:W\rightarrow U$ son transformaciones lineales, entonces $S\circ T:V\rightarrow U$ también es una transformación lineal$.$

Prueba: Sean $u,v\in V$ y $c\in \mathbb{R}.$ Como $T$ y $S$ son lineales, se tiene que \begin{equation*} \left( S\circ T\right) \left( u+v\right) =S\left( T\left( u+v\right) \right) = S\left( T\left( u\right) +Tv\right)= S\left( T\left( u\right) \right) + S\left( T\left( v\right) \right) =\left( S\circ T\right) \left( u\right) + \left( S\circ T\right) \left( v\right). \end{equation*} Similarmente, se cumple que \begin{equation*} \left( S\circ T\right) \left( c\,u\right)= S\left( T\left( c\,u\right) \right)= S\left( c\,\left( T\left( u\right) \right) \right) =c\,\left( S\left( T\left( u\right) \right) \right) =c\,\left( S\circ T\right) \left( u\right). \end{equation*} Luego, $S\circ T$ es lineal.

Ejemplo: Considere las transformaciones lineales $S: \mathcal{P}_{n}\rightarrow \mathcal{P}_{n}$ y $T:\mathcal{P}_{n}\rightarrow \mathcal{P}_{n}$ dadas por \begin{equation*} S(p(x))=p\left( x+1\right) \qquad \text{y}\qquad T(p(x))=xp^{\prime }\left( x\right). \end{equation*} Encuentre $S\circ T$ y $T\circ S.$

Solución: Sea $p\left( x\right) \in \mathcal{P}_{n}.$ Por definición, \begin{equation*} \left( S\circ T\right) \left( p\left( x\right) \right) =S\left( T\left( p\left( x\right) \right) \right) =S\left( xp^{\prime }\left( x\right) \right) =\left( x+1\right) p^{\prime }\left( x+1\right). \end{equation*} Por otro lado, \begin{equation*} \left( T\circ S\right) \left( p\left( x\right) \right)= T\left( S\left( p\left( x\right) \right) \right) =T\left( p\left( x+1\right) \right) =x\cdot p^{\prime }\left( x+1\right). \end{equation*} Notemos que $S\circ T\neq T\circ S.$

Teorema: La composición de transformaciones lineales es asociativa. Es decir, si $R,$ $S$ y $T$ son transformaciones lineales, entonces \begin{equation*} R\circ \left( S\circ T\right) =\left( R\circ S\right) \circ T .\end{equation*}

Ejemplo: Sean $T:V\rightarrow W$ y $S:U\rightarrow V$ transformaciones lineales y sea $I:V\rightarrow V$ la transformación identidad. Muestre que \begin{equation*} T\circ I=T\qquad \text{y}\qquad I\circ S=S. \end{equation*}

Solución: Dado $v\in V,$ tenemos que \begin{equation*} \left( T\circ I\right) \left( v\right)= T\left( I\left( v\right) \right) =T\left( v\right). \end{equation*} Luego, se deduce que $T\circ I=T.$ Similarmente, se prueba que $I\circ S=S.$

Ejercicios de práctica

Te invitamos a practicar los conocimientos aprendidos en esta parte de la clase realizando los siguientes ejercicios.