1. Núcleo e imagen

Definición: Sea $T:V\rightarrow W$ una transformación lineal. El núcleo o kernel de $T,$ denotado como $\mathrm{núcleo}\left( T\right),$ es el conjunto de todos los vectores en $V$ que son mapeados por $T$ al $0$ de $W.$ Es decir, $$\begin{equation*} \mathrm{núcleo}\left( T\right) =\left\{ v\in V\mid T(v)=0 \right\} . \end{equation*}$$ La imagen de $T,$ denotada por $\mathrm{Im}\left( T\right) ,$ es el conjunto de todos los vectores en $W$ que son imágenes de los vectores en $V$ bajo $T.$ Es decir$,$ $$\begin{equation*} \mathrm{Im}\left( T\right) =\left\{ T(v)\mid v\in V\right\} . \end{equation*}$$
Ejemplo: Halle el núcleo y la imagen de las siguientes transformaciones lineales.

1. $S:\mathcal{P}_{2}\rightarrow \mathbb{R},$ donde $S\left( p\left( x\right) \right) =p^{\prime }\left( 0\right) .$
2. $T:\mathcal{P}_{2}\rightarrow \mathcal{P}_{2},$ donde $T\left( p\left( x\right) \right) =xp^{\prime }\left( x\right).$

Solución:

1. Notemos que $S\left( a+bx+cx^{2}\right) =\left( b+2cx\right) \left( 0\right) =b.$ Luego, $$\begin{equation*} \mathrm{núcleo}\left( S\right) =\left\{ a+bx+cx^{2}\mid b=0\right\} =\left\{ a+cx^{2}\mid a,c\in \mathbb{R}\right\} =\mathrm{gen}\left( 1,x^{2}\right) . \end{equation*}$$ Por otro lado, $$\begin{equation*} \mathrm{Im}(S)=\left\{ S\left( a+bx+cx^{2}\right) \mid a,b,c\in \mathbb{R} \right\} =\left\{ b\mid a,b,c\in \mathbb{R}\right\} =\mathbb{R}. \end{equation*}$$
2. Notemos que $T\left( a+bx+cx^{2}\right) =x\left( b+2cx\right) =bx+2cx^{2}.$ Luego, $$\begin{equation*} \mathrm{núcleo}\left( T\right) =\left\{ a+bx+cx^{2}\mid bx+2cx^{2}=0\right\} =\left\{ a+bx+cx^{2}\mid b=c=0\right\} =\left\{ a\cdot 1\mid a\in \mathbb{R}\right\} =\mathrm{gen}\left( 1\right) . \end{equation*}$$ Por otro lado, $$\begin{equation*} \mathrm{Im}(T)=\left\{ T\left( a+bx+cx^{2}\right) \mid a,b,c\in \mathbb{R} \right\} =\left\{ bx+2cx^{2}\mid b,c\in \mathbb{R}\right\} =\mathrm{gen}\left( x,x^{2}\right) . \end{equation*}$$

Teorema: Sea $T:V\rightarrow W$ una transformación lineal$.$ Entonces,

1. $\mathrm{núcleo}\left( T\right)$ es un subespacio de $V.$
2. $\text{Im}(T)$ es un subespacio de $W.$

Definición: Sea $T:V\rightarrow W$ una transformación lineal. El rango de $T$ es la dimensión de la imagen de $T$ y se denotará por $\mathrm{rango}\left( T\right) .$ La nulidad de $T$ es la dimensión del núcleo de $T$ y se denota como $\mathrm{nulidad}\left( T\right) .$

Ejemplo: Para las transformaciones lineales del anterior ejemplo tenemos que $$\begin{equation*} \mathrm{rango}\left( S\right) =1\quad \text{y}\quad \mathrm{nulidad}\left( S\right) =2\qquad \text{y}\qquad \mathrm{rango}\left( T\right) =2\quad \text{ y}\quad \mathrm{nulidad}\left( T\right) =1. \end{equation*}$$ Notemos que $$\begin{align*} &\mathrm{rango}\left( S\right) +\mathrm{nulidad}\left( S\right) =3=\dim \mathcal{P}_{2},\\ &\mathrm{rango}\left( T\right) +\mathrm{nulidad}\left( T\right) =3 =\dim \mathcal{P}_{2}. \end{align*}$$ Los anteriores son casos particulares del siguiente resultado.

Teorema del rango: Suponga que $V$ tiene dimensión finita. Si $T:V\rightarrow W$ es una transformación lineal, entonces $$\begin{equation*} \mathrm{rango}\left( T\right) + \mathrm{nulidad}\left( T\right) = \text{dim} V. \end{equation*}$$

2. Transformaciones lineales inyectivas y sobreyectivas

Definición: Sea $T:V\rightarrow W$ una transformación lineal. Decimos que

1. $T$ es inyectiva si para todo $u,v\in V:T\left( u\right) =T\left( v\right)$ implica que $u=v.$
2. $T$ es sobreyectiva si $\text{Im}\left(T\right) =W.$ Es decir, si para todo $w\in W$ existe $v\in V$ tal que $T\left( v\right) =w.$

Teorema: Una transformación lineal $T:V\rightarrow W$ es inyectiva si y sólo si $\mathrm{núcleo}\left( T\right) =\left\{0\right\}.$

Corolario: Suponga que $\dim V=\dim W.$ Una transformación lineal $T:V\rightarrow W$ es inyectiva si y sólo si $T$ es sobreyectiva.

Ejemplo: Determine si las transformaciones del ejemplo 1 son inyectivas y/o sobreyectivas.

Solución:

1. Como $\mathrm{núcleo}\left( S\right) \neq \left\{ 0\right\} ,$ $S$ no es inyectiva. Como $\text{Im}(S)=\mathbb{R},$ $S$ sí es sobreyectiva.
2. Como $\mathrm{núcleo}\left( T\right) \neq \left\{ 0\right\} ,$ $T$ no es inyectiva. Como $\text{Im}(T)\neq \mathcal{P}_{2},$ $T$ no es sobreyectiva.

Ejemplo: Determine si la transformación lineal $T:M_{n\times n}\rightarrow M_{n\times n},$ dada por $T(A)=A^{T},$ es inyectiva y/o sobreyectiva.

Solución: Notemos que $\mathrm{núcleo}\left( T\right) =\left\{ A\mid T\left( A\right) =O\right\} =\left\{ A\mid A^{T}=O\right\} =\left\{ O\right\} .$ Por tanto, $T$ es inyectiva.
Ahora, dada $B\in M_{n\times n},$ podemos tomar $A=B^{T}.$ Luego, $T\left(A\right) =\left( B^{T}\right) ^{T}=B.$ Luego, $T$ es sobreyectiva.

Teorema: Sean $T:V\rightarrow W$ una transformación lineal, $\mathcal{B}=\left\{v_{1},\ldots ,v_{n}\right\}$ un subconjunto de $V$ y $T\left( \mathcal{B}\right) =\left\{ T(v_{1}),\ldots ,T(v_{n})\right\} .$

1. Si $\mathcal{B}$ es un conjunto generador para $V,$ entonces $T\left( \mathcal{B}\right)$ es un generador para $\text{Im}\left(T\right) .$
2. Si $T$ es inyectiva y $\mathcal{B}$ es linealmente independiente en $V,$ entonces $T\left( \mathcal{B}\right)$ es linealmente independiente en $W.$
3. Suponga que $\dim V=\dim W.$ Si $T$ es inyectiva y $\mathcal{B}$ es una base para $V,$ entonces $T\left( \mathcal{B}\right)$ es una base para $W.$

Ejercicios de práctica

Te invitamos a practicar los conocimientos aprendidos en esta parte de la clase realizando los siguientes ejercicios.