1. Núcleo e imagen
Definición: Sea T:V→WT:V→W una transformación lineal. El núcleo o kernel de T,T, denotado como núcleo(T),núcleo(T), es el conjunto de todos los vectores en VV que son mapeados por TT al 00 de W.W. Es decir, núcleo(T)={v∈V∣T(v)=0}.núcleo(T)={v∈V∣T(v)=0}. La imagen de T,T, denotada por Im(T),Im(T), es el conjunto de todos los vectores en WW que son imágenes de los vectores en VV bajo T.T. Es decir,, Im(T)={T(v)∣v∈V}.Im(T)={T(v)∣v∈V}.
Ejemplo: Halle el núcleo y la imagen de las siguientes transformaciones lineales.
- S:P2→R,S:P2→R, donde S(p(x))=p′(0).S(p(x))=p′(0).
- T:P2→P2,T:P2→P2, donde T(p(x))=xp′(x).T(p(x))=xp′(x).
Solución:
- Notemos que S(a+bx+cx2)=(b+2cx)(0)=b.S(a+bx+cx2)=(b+2cx)(0)=b. Luego, núcleo(S)={a+bx+cx2∣b=0}={a+cx2∣a,c∈R}=gen(1,x2).núcleo(S)={a+bx+cx2∣b=0}={a+cx2∣a,c∈R}=gen(1,x2). Por otro lado, Im(S)={S(a+bx+cx2)∣a,b,c∈R}={b∣a,b,c∈R}=R.Im(S)={S(a+bx+cx2)∣a,b,c∈R}={b∣a,b,c∈R}=R.
- Notemos que T(a+bx+cx2)=x(b+2cx)=bx+2cx2.T(a+bx+cx2)=x(b+2cx)=bx+2cx2. Luego, núcleo(T)={a+bx+cx2∣bx+2cx2=0}={a+bx+cx2∣b=c=0}={a⋅1∣a∈R}=gen(1).núcleo(T)={a+bx+cx2∣bx+2cx2=0}={a+bx+cx2∣b=c=0}={a⋅1∣a∈R}=gen(1). Por otro lado, Im(T)={T(a+bx+cx2)∣a,b,c∈R}={bx+2cx2∣b,c∈R}=gen(x,x2).Im(T)={T(a+bx+cx2)∣a,b,c∈R}={bx+2cx2∣b,c∈R}=gen(x,x2).
Teorema: Sea T:V→WT:V→W una transformación lineal.. Entonces,
- núcleo(T)núcleo(T) es un subespacio de V.V.
- Im(T)Im(T) es un subespacio de W.W.
Definición: Sea T:V→WT:V→W una transformación lineal. El rango de TT es la dimensión de la imagen de TT y se denotará por rango(T).rango(T). La nulidad de TT es la dimensión del núcleo de TT y se denota como nulidad(T).nulidad(T).
Ejemplo: Para las transformaciones lineales del anterior ejemplo tenemos que rango(S)=1ynulidad(S)=2yrango(T)=2 ynulidad(T)=1.rango(S)=1ynulidad(S)=2yrango(T)=2 ynulidad(T)=1. Notemos que rango(S)+nulidad(S)=3=dimP2,rango(T)+nulidad(T)=3=dimP2.rango(S)+nulidad(S)=3=dimP2,rango(T)+nulidad(T)=3=dimP2. Los anteriores son casos particulares del siguiente resultado.
Teorema del rango: Suponga que VV tiene dimensión finita. Si T:V→WT:V→W es una transformación lineal, entonces rango(T)+nulidad(T)=dimV.rango(T)+nulidad(T)=dimV.
2. Transformaciones lineales inyectivas y sobreyectivas
Definición: Sea T:V→WT:V→W una transformación lineal. Decimos que
- TT es inyectiva si para todo u,v∈V:T(u)=T(v)u,v∈V:T(u)=T(v) implica que u=v.u=v.
- TT es sobreyectiva si Im(T)=W.Im(T)=W. Es decir, si para todo w∈Ww∈W existe v∈Vv∈V tal que T(v)=w.T(v)=w.
Teorema: Una transformación lineal T:V→WT:V→W es inyectiva si y sólo si núcleo(T)={0}.núcleo(T)={0}.
Corolario: Suponga que dimV=dimW.dimV=dimW. Una transformación lineal T:V→WT:V→W es inyectiva si y sólo si TT es sobreyectiva.
Ejemplo: Determine si las transformaciones del ejemplo 1 son inyectivas y/o sobreyectivas.
Solución:
- Como núcleo(S)≠{0},núcleo(S)≠{0}, SS no es inyectiva. Como Im(S)=R,Im(S)=R, SS sí es sobreyectiva.
- Como núcleo(T)≠{0},núcleo(T)≠{0}, TT no es inyectiva. Como Im(T)≠P2,Im(T)≠P2, TT no es sobreyectiva.
Ejemplo: Determine si la transformación lineal T:Mn×n→Mn×n,T:Mn×n→Mn×n, dada por T(A)=AT,T(A)=AT, es inyectiva y/o sobreyectiva.
Solución: Notemos que núcleo(T)={A∣T(A)=O}={A∣AT=O}={O}.núcleo(T)={A∣T(A)=O}={A∣AT=O}={O}. Por tanto, TT es inyectiva.
Ahora, dada B∈Mn×n,B∈Mn×n, podemos tomar A=BT.A=BT. Luego, T(A)=(BT)T=B.T(A)=(BT)T=B. Luego, TT es sobreyectiva.
Teorema: Sean T:V→WT:V→W una transformación lineal, B={v1,…,vn}B={v1,…,vn} un subconjunto de VV y T(B)={T(v1),…,T(vn)}.T(B)={T(v1),…,T(vn)}.
- Si BB es un conjunto generador para V,V, entonces T(B)T(B) es un generador para Im(T).Im(T).
- Si TT es inyectiva y BB es linealmente independiente en V,V, entonces T(B)T(B) es linealmente independiente en W.
- Suponga que dimV=dimW. Si T es inyectiva y B es una base para V, entonces T(B) es una base para W.
Ejercicios de práctica
Te invitamos a practicar los conocimientos aprendidos en esta parte de la clase realizando los siguientes ejercicios.