1. Núcleo e imagen

Definición: Sea T:VWT:VW una transformación lineal. El núcleo o kernel de T,T, denotado como núcleo(T),núcleo(T), es el conjunto de todos los vectores en VV que son mapeados por TT al 00 de W.W. Es decir, núcleo(T)={vVT(v)=0}.núcleo(T)={vVT(v)=0}. La imagen de T,T, denotada por Im(T),Im(T), es el conjunto de todos los vectores en WW que son imágenes de los vectores en VV bajo T.T. Es decir,, Im(T)={T(v)vV}.Im(T)={T(v)vV}.
Ejemplo: Halle el núcleo y la imagen de las siguientes transformaciones lineales.

  1. S:P2R,S:P2R, donde S(p(x))=p(0).S(p(x))=p(0).
  2. T:P2P2,T:P2P2, donde T(p(x))=xp(x).T(p(x))=xp(x).

Solución:

  1. Notemos que S(a+bx+cx2)=(b+2cx)(0)=b.S(a+bx+cx2)=(b+2cx)(0)=b. Luego, núcleo(S)={a+bx+cx2b=0}={a+cx2a,cR}=gen(1,x2).núcleo(S)={a+bx+cx2b=0}={a+cx2a,cR}=gen(1,x2). Por otro lado, Im(S)={S(a+bx+cx2)a,b,cR}={ba,b,cR}=R.Im(S)={S(a+bx+cx2)a,b,cR}={ba,b,cR}=R.
  2. Notemos que T(a+bx+cx2)=x(b+2cx)=bx+2cx2.T(a+bx+cx2)=x(b+2cx)=bx+2cx2. Luego, núcleo(T)={a+bx+cx2bx+2cx2=0}={a+bx+cx2b=c=0}={a1aR}=gen(1).núcleo(T)={a+bx+cx2bx+2cx2=0}={a+bx+cx2b=c=0}={a1aR}=gen(1). Por otro lado, Im(T)={T(a+bx+cx2)a,b,cR}={bx+2cx2b,cR}=gen(x,x2).Im(T)={T(a+bx+cx2)a,b,cR}={bx+2cx2b,cR}=gen(x,x2).

Teorema: Sea T:VWT:VW una transformación lineal.. Entonces,

  1. núcleo(T)núcleo(T) es un subespacio de V.V.
  2. Im(T)Im(T) es un subespacio de W.W.

Definición: Sea T:VWT:VW una transformación lineal. El rango de TT es la dimensión de la imagen de TT y se denotará por rango(T).rango(T). La nulidad de TT es la dimensión del núcleo de TT y se denota como nulidad(T).nulidad(T).

Ejemplo: Para las transformaciones lineales del anterior ejemplo tenemos que rango(S)=1ynulidad(S)=2yrango(T)=2 ynulidad(T)=1.rango(S)=1ynulidad(S)=2yrango(T)=2 ynulidad(T)=1. Notemos que rango(S)+nulidad(S)=3=dimP2,rango(T)+nulidad(T)=3=dimP2.rango(S)+nulidad(S)=3=dimP2,rango(T)+nulidad(T)=3=dimP2. Los anteriores son casos particulares del siguiente resultado.

Teorema del rango: Suponga que VV tiene dimensión finita. Si T:VWT:VW es una transformación lineal, entonces rango(T)+nulidad(T)=dimV.rango(T)+nulidad(T)=dimV.

2. Transformaciones lineales inyectivas y sobreyectivas

Definición: Sea T:VWT:VW una transformación lineal. Decimos que

  1. TT es inyectiva si para todo u,vV:T(u)=T(v)u,vV:T(u)=T(v) implica que u=v.u=v.
  2. TT es sobreyectiva si Im(T)=W.Im(T)=W. Es decir, si para todo wWwW existe vVvV tal que T(v)=w.T(v)=w.

Teorema: Una transformación lineal T:VWT:VW es inyectiva si y sólo si núcleo(T)={0}.núcleo(T)={0}.

Corolario: Suponga que dimV=dimW.dimV=dimW. Una transformación lineal T:VWT:VW es inyectiva si y sólo si TT es sobreyectiva.

Ejemplo: Determine si las transformaciones del ejemplo 1 son inyectivas y/o sobreyectivas.

Solución:

  1. Como núcleo(S){0},núcleo(S){0}, SS no es inyectiva. Como Im(S)=R,Im(S)=R, SS sí es sobreyectiva.
  2. Como núcleo(T){0},núcleo(T){0}, TT no es inyectiva. Como Im(T)P2,Im(T)P2, TT no es sobreyectiva.

Ejemplo: Determine si la transformación lineal T:Mn×nMn×n,T:Mn×nMn×n, dada por T(A)=AT,T(A)=AT, es inyectiva y/o sobreyectiva.

Solución: Notemos que núcleo(T)={AT(A)=O}={AAT=O}={O}.núcleo(T)={AT(A)=O}={AAT=O}={O}. Por tanto, TT es inyectiva.
Ahora, dada BMn×n,BMn×n, podemos tomar A=BT.A=BT. Luego, T(A)=(BT)T=B.T(A)=(BT)T=B. Luego, TT es sobreyectiva.

Teorema: Sean T:VWT:VW una transformación lineal, B={v1,,vn}B={v1,,vn} un subconjunto de VV y T(B)={T(v1),,T(vn)}.T(B)={T(v1),,T(vn)}.

  1. Si BB es un conjunto generador para V,V, entonces T(B)T(B) es un generador para Im(T).Im(T).
  2. Si TT es inyectiva y BB es linealmente independiente en V,V, entonces T(B)T(B) es linealmente independiente en W.
  3. Suponga que dimV=dimW. Si T es inyectiva y B es una base para V, entonces T(B) es una base para W.

Ejercicios de práctica

Te invitamos a practicar los conocimientos aprendidos en esta parte de la clase realizando los siguientes ejercicios.