3. Isomorfismos de espacios vectoriales
Definición: Decimos que una transformación lineal es un isomorfismo si es inyectiva y sobreyectiva. Esto es equivalente a decir que es una transformación lineal invertible.
Ejemplo: Determine si la transformación lineal dada por es un isomorfismo.
Solución: Notemos que Por tanto, no es inyectiva y así no es un isomorfismo.
Ejemplo: Sea la transformación lineal dada por . Determinar si es un isomorfismo.
Solución: Para empezar veamos si es inyectiva, para esto vamos a calcular el núcleo de . Notemos que si y solamente si . Igualando términos semejantes obtenemos: , y . Resolviento este sistema de ecuaciones obtenemos , y . Esto demuestra que el núcleo de solamente contiene al vector nulo y esto implica que y así es una transformación lineal inyectiva. Por otro lado, del teorema del rango obtemos que . Por lo tanto . Esto demuestra que también es sobreyectiva y por lo tanto es un isomorfismo.
Definición: Deciemos que los espacios vectoriales a son isomorfimos si existe un isomorfismos . En este caso escribimos
Teorema: Sean y espacios vectoriales de dimensión finita. Entonces es isomorfo a si y sólo si
Corolario: Si entonces
Ejemplo: Dado que entonces Como entonces Por ejemplo, , , y
Ejemplo: Sea la transformación lineal que satisface
- Halle
- ¿Es inyectiva? ¿Es sobreyectiva? ¿Es un isomorfismo?
Solución:
- Primero notemos que Así, si entonces Por tanto,
- Por el teorema anterior, es inyectiva. Luego, por el anterior corolario es sobreyectiva. Podemos concluir que es un isomorfismo.
Ejemplo: Determine si las siguientes parejas de espacios vectoriales son isomorfos o no.
- y
- y
- y
- y
Solución:
- Notemos que y Luego, es isomorfo a
- Es fácil verificar que Así, Luego, no es isomorfo a
- Notemos que Por lo cual, no es isomorfo a
- Se puede verificar que es una base para y es una base para Así, Por tanto,
Ejercicios de práctica
Te invitamos a practicar los conocimientos aprendidos en esta parte de la clase realizando los siguientes ejercicios.