3. Isomorfismos de espacios vectoriales

Definición: Decimos que una transformación lineal $T:V\rightarrow W$ es un isomorfismo si $T$ es inyectiva y sobreyectiva. Esto es equivalente a decir que $T$ es una transformación lineal invertible.

Ejemplo: Determine si la transformación lineal $T:M_{n\times n}\rightarrow M_{n\times n},$ dada por $T(A)=A-A^{T},$ es un isomorfismo. 

Solución: Notemos que \begin{equation*} \mathrm{núcleo}\left( T\right) =\left\{ A\mid T\left( A\right) =O\right\} =\left\{ A\mid A-A^{T}=O\right\} =\left\{ A\in M_{n\times n}\mid A^{T}=A\right\} \neq \left\{ O\right\} . \end{equation*} Por tanto, $T$ no es inyectiva y así $T$ no es un isomorfismo.

Ejemplo: Sea $T:\mathbb{R}^3\to \mathcal{P}_{2}$ la transformación lineal dada por $T\begin{bmatrix} a  \\ b \\ c  \end{bmatrix}=(a+b)+(a-b+c)x+cx^2$. Determinar si $T$ es un isomorfismo. 

Solución: Para empezar veamos si $T$ es inyectiva, para esto vamos a calcular el núcleo de $T$. Notemos que $T\begin{bmatrix} a  \\ b \\ c  \end{bmatrix}=0$ si y solamente si $(a+b)+(a-b+c)x+cx^2=0$. Igualando términos semejantes obtenemos: $a+b=0$, $a-b+c=0$ y $c=0$. Resolviento este sistema de ecuaciones obtenemos $a=0$, $b=0$ y $c=0$. Esto demuestra que el núcleo de $T$ solamente contiene al vector nulo y esto implica que $\mathrm{nulidad}(T)=0$ y así $T$ es una transformación lineal inyectiva. Por otro lado, del teorema del rango obtemos que $3=\mathrm{dim}(\mathbb{R}^3)=\mathrm{nulidad}(T)+\mathrm{rango}(T)=\mathrm{rango}(T)$. Por lo tanto $\mathrm{rango}(T)=3=\mathrm{dim}( \mathcal{P}_{2})$. Esto demuestra que $T$ también es sobreyectiva y por lo tanto $T$ es un isomorfismo.  

Definición: Deciemos que los espacios vectoriales $V$ a $W$ son isomorfimos si existe un isomorfismos $T:V\to W$. En este caso escribimos $V\cong W.$

Teorema: Sean $V$ y $W$ espacios vectoriales de dimensión finita. Entonces $V$ es isomorfo a $W$ si y sólo si $\dim \left( V\right) =\dim \left( W\right) .$

Corolario: Si $\dim \left( V\right) =n,$ entonces $V\cong \mathbb{R}^{n}.$

Ejemplo: Dado que $\dim \mathcal{P}_{n}=n+1,$ entonces \begin{equation*} \mathcal{P}_{n}\cong \mathbb{R}^{n+1}\qquad \text{y}\qquad \mathcal{P}_{n}\not\cong \mathbb{R}^{n}. \end{equation*} Como $\dim M_{m\times n}=m\cdot n,$ entonces \begin{equation*} M_{m\times n}\cong \mathbb{R}^{m\cdot n}. \end{equation*} Por ejemplo, $\mathcal{P}_{1}\cong \mathbb{R}^{2}$, $\mathcal{P}_{2}\cong \mathbb{R}^{3}$, $M_{2\times 2}\cong \mathbb{R}^{4}$ y $M_{3\times4}\cong \mathbb{R}^{12}.$

Ejemplo: Sea $T:\mathcal{P}_{2}\rightarrow \mathcal{P}_{2}$ la transformación lineal que satisface \begin{equation*} T\left( 1\right) =1-x,\qquad T\left( x\right) =1+x\qquad \text{y}\qquad T\left( x^{2}\right) =1+x+x^{2}. \end{equation*}

1. Halle $\mathrm{núcleo}\left( T\right).$
2. ¿Es $T$ inyectiva? ¿Es $T$ sobreyectiva? ¿Es $T$ un isomorfismo?

Solución:

1. Primero notemos que \begin{equation*} T\left( a+bx+cx^{2}\right) =a\left( 1-x\right) +b\left( 1+x\right) +c\left( 1+x+x^{2}\right) =\left( a+b+c\right) +\left( -a+b+c\right) x+cx^{2}. \end{equation*} Así, si $T\left( a+bx+cx^{2}\right) =0,$ entonces $a=b=c=0.$ Por tanto, $\mathrm{núcleo}\left( T\right) =\left\{ 0\right\} .$
2. Por el teorema anterior, $T$ es inyectiva. Luego, por el anterior corolario $T$ es sobreyectiva. Podemos concluir que $T$ es un isomorfismo.

Ejemplo: Determine si las siguientes parejas de espacios vectoriales son isomorfos o no.

1. $V=M_{3\times 2}$ y $W=\mathcal{P}_{5}.$
2. $V=\left\{ p\in \mathcal{P}_{4}\mid p(0)=0\right\} $ y $W=\mathbb{R}^{5}.$
3. $V=\mathcal{P}_{4}$ y $W=\mathbb{R}^{3}.$
4. $V=\left\{ p\in \mathcal{P}_{3}\mid p^{\prime }\left( 0\right) =0\right\} $ y $W=\left\{ p\in \mathcal{P}_{3}\mid p^{\prime \prime }\left( 0\right) =0\right\}.$

Solución:

1. Notemos que $\dim M_{3\times 2}=3\cdot 2=6$ y $\dim \mathcal{P}_{5}=5+1=6.$ Luego, $V$ es isomorfo a $W.$
2. Es fácil verificar que \begin{equation*} \mathcal{B}=\left\{ x,x^{2},x^{3},x^{4}\right\} \text{ es una base para } V. \end{equation*} Así, $\dim V=4\neq 5=\dim \mathbb{R}^{5}.$ Luego, $V$ no es isomorfo a $W.$
3. Notemos que $\dim \mathcal{P}_{4}=4+1=5\neq 3=\dim \mathbb{R}^{3}.$ Por lo cual, $V$ no es isomorfo a $W.$
4. Se puede verificar que $\mathcal{B}=\left\{ 1,x^{2},x^{3}\right\}$ es una base para $V$ y $\mathcal{C}=\left\{ 1,x,x^{3}\right\} $ es una base para $W.$ Así, $\dim V=3=\dim W.$ Por tanto, $V\cong W.$

Ejercicios de práctica

Te invitamos a practicar los conocimientos aprendidos en esta parte de la clase realizando los siguientes ejercicios.