3. Isomorfismos de espacios vectoriales

Definición: Decimos que una transformación lineal T:VW es un isomorfismo si T es inyectiva y sobreyectiva. Esto es equivalente a decir que T es una transformación lineal invertible.

Ejemplo: Determine si la transformación lineal T:Mn×nMn×n, dada por T(A)=AAT, es un isomorfismo. 

Solución: Notemos que núcleo(T)={AT(A)=O}={AAAT=O}={AMn×nAT=A}{O}. Por tanto, T no es inyectiva y así T no es un isomorfismo.

Ejemplo: Sea T:R3P2 la transformación lineal dada por T[abc]=(a+b)+(ab+c)x+cx2. Determinar si T es un isomorfismo. 

Solución: Para empezar veamos si T es inyectiva, para esto vamos a calcular el núcleo de T. Notemos que T[abc]=0 si y solamente si (a+b)+(ab+c)x+cx2=0. Igualando términos semejantes obtenemos: a+b=0, ab+c=0 y c=0. Resolviento este sistema de ecuaciones obtenemos a=0, b=0 y c=0. Esto demuestra que el núcleo de T solamente contiene al vector nulo y esto implica que nulidad(T)=0 y así T es una transformación lineal inyectiva. Por otro lado, del teorema del rango obtemos que 3=dim(R3)=nulidad(T)+rango(T)=rango(T).
Por lo tanto rango(T)=3=dim(P2). Esto demuestra que T también es sobreyectiva y por lo tanto T es un isomorfismo.  

Definición: Deciemos que los espacios vectoriales V a W son isomorfimos si existe un isomorfismos T:VW. En este caso escribimos VW.

Teorema: Sean V y W espacios vectoriales de dimensión finita. Entonces V es isomorfo a W si y sólo si dim(V)=dim(W).

Corolario: Si dim(V)=n, entonces VRn.

Ejemplo: Dado que dimPn=n+1, entonces PnRn+1yPnRn. Como dimMm×n=mn, entonces Mm×nRmn. Por ejemplo, P1R2, P2R3, M2×2R4 y M3×4R12.

Ejemplo: Sea T:P2P2 la transformación lineal que satisface T(1)=1x,T(x)=1+xyT(x2)=1+x+x2.

  1. Halle núcleo(T).
  2. ¿Es T inyectiva? ¿Es T sobreyectiva? ¿Es T un isomorfismo?

Solución:

  1. Primero notemos que T(a+bx+cx2)=a(1x)+b(1+x)+c(1+x+x2)=(a+b+c)+(a+b+c)x+cx2. Así, si T(a+bx+cx2)=0, entonces a=b=c=0. Por tanto, núcleo(T)={0}.
  2. Por el teorema anterior, T es inyectiva. Luego, por el anterior corolario T es sobreyectiva. Podemos concluir que T es un isomorfismo.

Ejemplo: Determine si las siguientes parejas de espacios vectoriales son isomorfos o no.

  1. V=M3×2 y W=P5.
  2. V={pP4p(0)=0} y W=R5.
  3. V=P4 y W=R3.
  4. V={pP3p(0)=0} y W={pP3p(0)=0}.

Solución:

  1. Notemos que dimM3×2=32=6 y dimP5=5+1=6. Luego, V es isomorfo a W.
  2. Es fácil verificar que B={x,x2,x3,x4} es una base para V. Así, dimV=45=dimR5. Luego, V no es isomorfo a W.
  3. Notemos que dimP4=4+1=53=dimR3. Por lo cual, V no es isomorfo a W.
  4. Se puede verificar que B={1,x2,x3} es una base para V y C={1,x,x3} es una base para W. Así, dimV=3=dimW. Por tanto, VW.

Ejercicios de práctica

Te invitamos a practicar los conocimientos aprendidos en esta parte de la clase realizando los siguientes ejercicios.