3. Inversas de las transformaciones lineales

Definición: Una transformación lineal $T:V\rightarrow W$ es invertible si existe una transformación lineal $T^{\prime }:W\rightarrow V$ tal que $$\begin{equation*} T^{\prime }\circ T =I_{V} \quad y\quad T\circ T^{\prime }=I_{W}. \end{equation*}$$
Teorema: Si $T$ es una transformación lineal invertible, entonces su inversa es única y la denotaremos por $T^{-1}.$

Ejemplo: Sea $T:M_{n\times n}\rightarrow M_{n\times n}$ dada por $T(A)=A^{T}.$ Calcule $T\circ T.$ ¿Es $T$ una transformación lineal invertible? En caso afirmativo, halle $T^{-1}.$

Solución: Sea $A\in M_{n\times n}.$ Luego, $$\begin{equation*} (T\circ T)(A)=T\left( T\left( A\right) \right) =T\,(A^{T})=(A^{T})^{T}=A. \end{equation*}$$ Por tanto, $T\circ T=I_{M_{n\times n}}.$ Luego, $T$ es invertible y $T^{-1}=T.$

Ejemplo: Sean $T:\mathcal{P}_{1}\rightarrow \mathcal{P}_{2}$ y $S:\mathcal{P}_{2}\rightarrow \mathcal{P}_{1}$ transformaciones lineales dadas por: $$\begin{equation*} T\left( a_{0}+a_{1}x\right) =a_{0}x+\dfrac{a_{1}}{2}x^{2}\qquad \text{y} \qquad S\left( b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}\right) =b_{1}+2b_{2}x. \end{equation*}$$ Hallemos $S\circ T$ y $T\circ S.$ Si $p\left( x\right) =a_{0}+a_{1}x\in \mathcal{P}_{1}:$ $$\begin{equation*} \left( S\circ T\right) \left( a_{0}+a_{1}x\right) =S\left( T\left( a_{0}+a_{1}x\right) \right) =S\left( a_{0}x+\dfrac{a_{1}}{2}x^{2}\right) =a_{0}+a_{1}x=\left( a_{0}+a_{1}x\right) . \end{equation*}$$ Si $q\left( x\right) =b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}\in \mathcal{P}_{2}:$ $$\begin{equation*} \left( T\circ S\right) \left( b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}\right) =T\left( S\left( b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}\right) \right) =T\left( b_{1}+2b_{2}x\right) =b_{1}x+b_{2}x^{2}\neq b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}. \end{equation*}$$ Notemos que $S\circ T=I_{\mathcal{P}_{1}},$ pero $T\circ S\neq I_{\mathcal{P}_{2}}$. Por tanto, $S\neq T^{-1}.$

Ejemplo: Sean $T,S:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}^{2}$ transformaciones lineales dadas por $$\begin{equation*} T\left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} x-y \\ -3x+4y \end{array} \right] \qquad \text{y}\qquad S\left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} 4x+y \\ 3x+y \end{array} \right] . \end{equation*}$$ Verifique que $S$ es la transformación de $T.$

Solución 1: Notemos que $\left[ S\right] =\left[ \begin{array}{rr} 4 & 1 \\ 3 & 1 \end{array} \right] \quad$y$\quad \left[ T\right] =\left[ \begin{array}{rr} 1 & -1 \\ -3 & 4 \end{array} \right] .\quad$Luego, $$\begin{equation*} \left[ S\right] \cdot \left[ T\right] =\left[ \begin{array}{rr} 4 & 1 \\ 3 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{rr} 1 & -1 \\ -3 & 4 \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right]. \end{equation*}$$ Como la inversa de una matriz es única, entonces $$\begin{equation*} \left[ T^{-1}\right] =\left[ T\right] ^{-1}=\left[ S\right] \qquad \text{y} \qquad T^{-1}=S. \end{equation*}$$

Solución 2: Dado $u=\left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right] \in \mathbb{R}^{2}:$ $$\begin{equation*} \left( S\circ T\right) \left( u\right) =S(T\left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right] )=S\left[ \begin{array}{c} x-y \\ -3x+4y \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} 4\left( x-y\right) +\left( -3x+4y\right) \\ 3\left( x-y\right) +\left( -3x+4y\right) \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right] =u. \end{equation*}$$ Similarmente, $\left( T\circ S\right) \left( u\right) =u.$ Luego, $S$ es la inversa de $T.$ Esto es, $T^{-1}=S.$

Ejercicios de práctica

Te invitamos a practicar los conocimientos aprendidos en esta parte de la clase realizando los siguientes ejercicios.