1. Independencia lineal
Recordemos que un espacio vectorial es conjunto VV dotado con dos operaciones llamadas suma y multiplicación por escalar, que satisfacen las mismas propiedades que se cumplen para la suma y producto por escalar en RnRn.
Definición: Un conjunto de vectores {v1,v2,…,vk}{v1,v2,…,vk} de un espacio vectorial VV es linealmente dependiente (L.D.) si existen escalares c1,c2,…,ckc1,c2,…,ck, al menos uno de los cuales no sea cero, tal que c1v1+c2v2+⋯+ckvk=0.c1v1+c2v2+⋯+ckvk=0. Un conjunto de vectores que no es linealmente dependiente se dice que es linealmente independiente. De forma explícita, un conjunto de vectores {v1,v2,…,vk}{v1,v2,…,vk} de un espacio vectorial VV es linealmente independiente si la única solución del sistema de ecuaciones c1v1+c2v2+⋯+ckvk=0.c1v1+c2v2+⋯+ckvk=0.
es la solución trivial c1=0,c2=0,...,ck=0c1=0,c2=0,...,ck=0.
Teorema: Un conjunto de vectores {v1,v2,...,vk}{v1,v2,...,vk} de un espacio vectorial VV es linealemente dependiente (L.D.) si y sólo si al menos uno de los vectores puede ser expresado como combinación lineal de los otros.
Ejemplo: ¿ Cuáles de los siguientes subconjuntos del espacio vectorial dado es linealmente dependiente?
- {1,x,x2}{1,x,x2} y V=P2.V=P2.
- {1,sen2(x),cos2(x)}{1,sen2(x),cos2(x)} y V=F.V=F.
Solución:
- Sean a,ba,b y cc tales que a+bx+cx2=0a+bx+cx2=0. Derivando obtenemos b+2cx=0b+2cx=0 y derivando nuevamente tenemos 2c=02c=0, con lo que c=0,b=0c=0,b=0 y a=0a=0. Es decir {1,x,x2}{1,x,x2} es un conjunto linealmente independiente.
- Por la identidad Pitagórica: 1=sen2(x)+cos2(x).1=sen2(x)+cos2(x). Como 11 es combinación lineal de sen2(x)sen2(x) y cos2(x),cos2(x), el conjunto es linealmente dependiente.
Ejemplo: Sea {u,v,w}{u,v,w} un conjunto linealmente independiente en un espacio vectorial V.V.
- ¿Es {u+w,u+v,v+w}{u+w,u+v,v+w} L.D o L.I. en V?V?
- ¿Es {u−w,−u+v,v−w}{u−w,−u+v,v−w} L.D o L.I. en V?V?
Solución:
1. Consideremos la combinación lineal a(u+w)+b(u+v)+c(v+w)=0.a(u+w)+b(u+v)+c(v+w)=0. Reuniendo términos semejantes, (a+b)u+(b+c)v+(a+c)w=0.(a+b)u+(b+c)v+(a+c)w=0. Dado que {u,v,w}{u,v,w} es L.I. en V,V, se tiene que {a+b=0b+c=0a+c=0⇒[110011101]→⋯→[110011002]⇒{a=−b=0b=−c=0c=0⎧⎪⎨⎪⎩a+b=0b+c=0a+c=0⇒⎡⎢⎣110011101⎤⎥⎦→⋯→⎡⎢⎣110011002⎤⎥⎦⇒⎧⎪⎨⎪⎩a=−b=0b=−c=0c=0 Por tanto, a=b=c=0a=b=c=0 es la única solución del anterior sistema. Luego, {u+w,u+v,v+w}{u+w,u+v,v+w} es L.I. en V.V.
2. De nuevo, consideremos la combinación lineal a(u−w)+b(−u+v)+c(v−w)=0.a(u−w)+b(−u+v)+c(v−w)=0. Agrupando términos semejantes (a−b)u+(b+c)v+(−a−c)w=0.(a−b)u+(b+c)v+(−a−c)w=0. Como {u,v,w}{u,v,w} es L.I. en V,V, tenemos que
a−b=0b+c=0−a−c=0a−b=0b+c=0−a−c=0
La solución de este sistema es a=ca=c, b=−cb=−c con cc una variable libre. Tomando c≠0,c≠0, existen escalares a,ba,b y cc no nulos que satisfacen las anteriores ecuaciones. Así, {u−w,−u+v,v−w}{u−w,−u+v,v−w} es L. D. en V.V.
2. Bases
Definición: Un subconjunto BB de un espacio vectorial VV es una base para VV si
- BB genera a VV,
- BB es linealmente independiente.
Ejemplo: A continuación, introducimos las bases estándares de los principales espacios vectoriales:
- Supongamos que V=RnV=Rn, en este caso los vectores {e1,e2,…,en}{e1,e2,…,en} forman una base que se llama la base canónica o base estándar. Por ejemplo, para R3R3 la base canónica es {e1=[100],e2=[010],e3=[001]}.⎧⎪⎨⎪⎩e1=⎡⎢⎣100⎤⎥⎦,e2=⎡⎢⎣010⎤⎥⎦,e3=⎡⎢⎣001⎤⎥⎦⎫⎪⎬⎪⎭.
- Si V=PnV=Pn, entonces los polinomios {1,x,x2,…,xn}{1,x,x2,…,xn} forman una base que se llama la base canónica. Por ejemplo en P5P5 obtenemos la base {1,x,x2,x3,x4,x5}.{1,x,x2,x3,x4,x5}.
- Si tomamos V=Mm×nV=Mm×n, entonces las matrices elementales EijEij forman una base. Aquí EijEij es una matriz de orden m×nm×n cuya entrada ijij es igual a 11 y las restantes entradas todas iguales a cero. Por ejemplo para M2×3M2×3 obtenemos la base E11=[100000],E12=[010000],E13[001000],E21=[000100],E22=[000010],E23=[000001].E11=[100000],E12=[010000],E13[001000],E21=[000100],E22=[000010],E23=[000001].
Ejemplo: Halle una base para el subespacio WW de matrices antisimétricas de orden 2×2.2×2.
Solución: Si AA es una matriz antisimétrica, se tiene que AT=−AAT=−A, es decir A+AT=0A+AT=0. Luego, [abcd]+[acbd]=[0000].[abcd]+[acbd]=[0000]. Igualando componente a componente obtemos que a=d=0a=d=0 y c=−b.c=−b. Por tanto, existe b∈Rb∈R tal que A=[0b−b0]=b[01−10].A=[0b−b0]=b[01−10]. Concluimos entonces que W=gen{[01−10]}.W=gen{[01−10]}. De este modo, B={[01−10]}B={[01−10]} es una base para W.W.
Ejemplo: Halle una base para el siguiente subespacio de P3:P3: W={a+bx−bx2+ax3∣a,b∈R}.W={a+bx−bx2+ax3∣a,b∈R}.
Solución: Notemos que p(x)∈W⇔p(x)=a+bx−bx2+ax3=a(1+x3)+b(x−x2).p(x)∈W⇔p(x)=a+bx−bx2+ax3=a(1+x3)+b(x−x2). Como el conjunto {1+x3,x−x2}{1+x3,x−x2} es L.I. en P3,P3, podemos afirmar que B2={p1(x)=1+x3,p2(x)=x−x2}B2={p1(x)=1+x3,p2(x)=x−x2} es una base para W.W.
Ejercicios de práctica
Te invitamos a practicar los conocimientos aprendidos en esta parte de la clase realizando los siguientes ejercicios.