3. Dimensión

Teorema: Sea $\mathcal{B}=\left\{ v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}\right\}$ una base para un espacio vectorial $V.$

1. Cualquier conjunto con más de $n$ vectores en $V$ debe ser linealmente dependiente.
2. Cualquier conjunto con menos de $n$ vectores en $V$ no puede generar a $V.$

Teorema: Si un espacio vectorial $V$ tiene una base con $n$ vectores, entonces toda base para $V$ tiene exactamente $n$ vectores.

Definición: Sea $V$ un espacio vectorial. La dimensión de $V,$ denotada $\dim \left( V\right) ,$ es el número de vectores en una base para $V.$ Por convención, $\dim \left\{ \mathbf{0} \right\} =0.$

Ejemplo: Halle la dimensión de los siguientes subespacios del espacio vectorial dado.

1. $W=\left\{ A\in M_{2\times 2}\mid A^{T}=-A\right\}$ y $V=M_{2\times 2}.$
2. $W=\left\{ A\in M_{3\times 3}\mid A^{T}=-A\right\}$ y $V=M_{3\times 3}.$
3. $S=\left\{ A\in M_{2\times 2}\mid A^{T}=A\right\},$  $V=M_{2\times 2}.$
4. $H=\mathrm{gen}\left( \mathrm{sen}\left( x\right) ,\cos \left( x\right), \mathrm{sen}\left( 2x\right) \right) ,$ y $V=\mathcal{ F}.$

Solución:
1. Sabemos que una base para $W$ es $\mathcal{B} =\left\{ \left[ \begin{array}{rr} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array} \right] \right\}.$ Por lo tanto, $\dim \left( W\right) =1$.
2. Si $A\in W,$ entonces existen $a,b,c\in \mathbb{R}$ tales que $$\begin{equation*} A=\left[ \begin{array}{rrr} 0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0 \end{array} \right] =a\overset{{\LARGE B}_{1}}{\overbrace{\left[ \begin{array}{rrr} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right] }}+ b\overset{{\LARGE B}_{2}}{\overbrace{\left[ \begin{array}{rrr} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{array} \right] }}+ c\overset{{\LARGE B}_{3}}{\overbrace{\left[ \begin{array}{rrr} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{array} \right] }}. \end{equation*}$$ Así, $\mathcal{B}=\{B_{1},B_{2},B_{3}\}$ genera a $W.$ Es fácil, verificar que $\mathcal{B}$ es linealmente independiente en $M_{3\times 3}.$ Luego, $\mathcal{B}$ es una base para $W.$ Por tanto, $\dim \left( W\right) =3.$
3. Procediendo de forma análoga que en 2., se prueba que
$$\mathcal{B} =\left\{ \left[ \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right], \left[ \begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right], \left[ \begin{array}{rr} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right] \right\}$$
es base para $S.$ Con lo que $\dim S=3.$
4.Sea $\mathcal{B}=\left\{ \mathrm{sen}\left( x\right) ,\cos \left( x\right) ,\mathrm{sen}\left( 2x\right) \right\} .$ Es claro que $\mathcal{B}$ genera a $H.$ Veamos que $\mathcal{B}$ es linealmente independiente en $\mathcal{F}:$ sean $a,b,c$ tales que $a\;\mathrm{sen}\left( x\right) +b\cos \left( x\right) +c\;\mathrm{sen}\left( 2x\right) =0,$ para todo $x\in \mathbb{R}.$ Entonces si se toma $x=\dfrac{\pi }{2},$ se obtiene que a=0, si tomamos $x=\pi$ obtenemos $b=0$ y si tomamos $x=\dfrac{\pi }{4}$ se tiene que $c=0.$ Así, $\mathcal{B}$ es linealmente independiente. Por tanto, una base para $H$. Así, $\dim \left( H\right) =3.$

Ejemplo:

1. $\dim \left( \mathbb{R}^{n}\right) =n.$
2. $\dim \left( \mathcal{P} _{n}\right) =n+1.$
3. $\dim \left( M_{m\times n}\right) =m\cdot n.$

Teorema: Sea $V$ un espacio vectorial con $\dim (V)=n.$ Entonces

1. Cualquier conjunto linealmente independiente con exactamente $n$ vectores en $V$ es una base para $V.$
2. Cualquier conjunto generador de $V$ compuesto con exactamente $n$ vectores es una base para $V.$

Ejemplo: Verifique si el conjunto $\mathcal{B}$ dado es una base para el espacio vectorial $V$ correspondiente.

1. $\mathcal{B}=\left\{ 2,1+x,1+x^{2}\right\}$ y $V=\mathcal{P}_{2}.$
2. $\mathcal{B}=\left\{ \left[ \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{array} \right], \left[ \begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right] \right\},$ y $V=\left\{ A\in M_{2\times 2}\mid A^{T}=A\right\}.$

Solución:

1. Notemos que $\dim \left( \mathcal{P}_{2}\right) =3$ y que $\mathcal{B}$ tiene exactamente $3$ vectores. Luego, $\mathcal{B}$ es una base para $\mathcal{P}_{2}$ si y sólo si $\mathcal{B}$ es L.I. en $\mathcal{P}_{2}.$ Ahora bien, sean $a,b,c$ tales que $2a+b(1+x)+c(1+x^{2})=0.$ Luego, $(2a+b+c)+bx+cx^{2}=0$ y como $1,x,x^{2}$ son L.I., entonces $$\begin{array}{r} 2a+b+c=0 \\ b=c=0 \end{array} \quad \Rightarrow \quad a=b=c=0.$$ Por lo tanto, $\mathcal{B}$ es una base para $V.$
2. Notemos que $\dim \left( V\right) =3$ y que $\mathcal{B}$ sólo tiene $2$ elementos. Por lo tanto, $\mathcal{B}$ no es una base para $V.$

Teorema: Sea $W$ un subespacio de un espacio vectorial de dimensión finita $V.$ Entonces

1. $W$ es de dimensión finita y $\dim W\leq \dim V.$
2. $\dim W=\dim V$ si y sólo si $W=V.$

4. Coordenadas

Teorema: Sea $\mathcal{B}$ una base para un espacio vectorial $V.$ Para todo $v\in V$ existe una única forma de escribir el vector $v$ como combinación lineal de los vectores de $\mathcal{B}.$

Definición: Sea $\mathcal{B}=\left\{ v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}\right\}$ una base para un espacio vectorial $V.$ Sea $v\in V$ tal que $v=c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}+ \cdots +c_{n}v_{n}.$ Los escalares $c_{1},c_{2},\ldots ,c_{n}$ se conocen como las coordenadas de $v$ con respecto a $\mathcal{B},$ y el vector $$\begin{equation*} \left[ v\right] _{\mathcal{B}} =\left[ \begin{array}{c} c_{1} \\ \vdots \\ c_{n} \end{array} \right] \end{equation*}$$ se denomina el vector de coordenadas de con respecto a $\mathcal{B}.$

Ejemplo: Sea $p\left( x\right) =-2+3x-4x^{2}$. Halle $\left[ p\right] _{\mathcal{B}},$ donde $\mathcal{B}=\left\{ 1,x,x^{2}\right\}$ es la base estándar de $\mathcal{P}_{2}.$ Si $q\left( x\right) \in \mathcal{P}_{2}$ cumple que $\left[ q\right] _{\mathcal{ B}}=\left[ \begin{array}{r} 2 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right] ,$ halle $q\left( x\right).$

Solución: Por definición, $\left[ p\right] _{\mathcal{B}}= \left[ \begin{array}{r} -2 \\ 3 \\ -4\end{array} \right].$ Por otro lado, si $\left[ q\right] _{\mathcal{B}}=\left[ \begin{array}{r} 2 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right],$ $q\left( x\right) =2\cdot 1+0\cdot x+2\cdot x^{2}=2+2x^{2}.$

Ejemplo: Sea $A=\left[ \begin{array}{rr} -1 & 3 \\ 2 & 0 \end{array} \right] .$ Halle $\left[ A\right] _{\mathcal{B}},$ donde $\mathcal{B} = \left\{ E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}\right\}$ es la base estándar de $M_{2\times 2}.$

Solución: Por definición, $A=-E_{11}+3E_{12}+2E_{21}+0E_{22}.$ Luego, $\left[ A\right] _{\mathcal{B}}= \left[ \begin{array}{r} -1 \\ 3 \\ 2 \\ 0 \end{array} \right].$

Teorema: Sea $\mathcal{B}$ una base para un espacio vectorial $V.$ Para todo $u,v\in V$ y $c\in \mathbb{R}:$

1. $\left[ u+v\right] _{\mathcal{B}}=\left[ u\right] _{ \mathcal{B}}+\left[ v\right] _{\mathcal{B}}.$
2. $\left[ cu\right] _{\mathcal{B}}=c\left[ u\right] _{\mathcal{B}}.$

Teorema: Sea $\mathcal{B}=\left\{ v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}\right\}$ una base para un espacio vectorial $V$ y sean $u_{1},\ldots ,u_{k}\in V.$ Entonces $\left\{ u_{1},\ldots ,u_{k}\right\}$ es L. I. en $V$ si y sólo si $\left\{ \left[ u_{1}\right] _{\mathcal{B}},\ldots , \left[ u_{k}\right] _{\mathcal{B}}\right\}$ es L.I. en $\mathbb{R}^{n}.$

Ejercicios de práctica

Te invitamos a practicar los conocimientos aprendidos en esta parte de la clase realizando los siguientes ejercicios.