Clase 24. Parte 2. Dimensión y coordenadas

3. Dimensión

Teorema: Sea B={v1,v2,…,vn}B={v1,v2,…,vn} una base para un espacio vectorial V.V.

  1. Cualquier conjunto con más de nn vectores en VV debe ser linealmente dependiente.
  2. Cualquier conjunto con menos de nn vectores en VV no puede generar a V.V.

Teorema: Si un espacio vectorial VV tiene una base con nn vectores, entonces toda base para VV tiene exactamente nn vectores.

Definición: Sea VV un espacio vectorial. La dimensión de V,V, denotada dim(V),dim(V), es el número de vectores en una base para V.V. Por convención, dim{0}=0.dim{0}=0.


Ejemplo: Halle la dimensión de los siguientes subespacios del espacio vectorial dado.

  1. W={A∈M2×2∣AT=−A}W={A∈M2×2∣AT=−A} y V=M2×2.V=M2×2.
  2. W={A∈M3×3∣AT=−A}W={A∈M3×3∣AT=−A} y V=M3×3.V=M3×3.
  3. S={A∈M2×2∣AT=A},S={A∈M2×2∣AT=A},  V=M2×2.V=M2×2.
  4. H=gen(sen(x),cos(x),sen(2x)),H=gen(sen(x),cos(x),sen(2x)), y V=F.V=F.

Solución:
1. Sabemos que una base para WW es B={[01−10]}.B={[01−10]}. Por lo tanto, dim(W)=1dim(W)=1.
2. Si A∈W,A∈W, entonces existen a,b,c∈Ra,b,c∈R tales que A=[0ab−a0c−b−c0]=aB1⏞[010−100000]+bB2⏞[001000−100]+cB3⏞[0000010−10].A=⎡⎢⎣0ab−a0c−b−c0⎤⎥⎦=aB1⎡⎢⎣010−100000⎤⎥⎦+bB2⎡⎢⎣001000−100⎤⎥⎦+cB3⎡⎢⎣0000010−10⎤⎥⎦. Así, B={B1,B2,B3}B={B1,B2,B3} genera a W.W. Es fácil, verificar que BB es linealmente independiente en M3×3.M3×3. Luego, BB es una base para W.W. Por tanto, dim(W)=3.dim(W)=3.
3. Procediendo de forma análoga que en 2., se prueba que
B={[1000],[0001],[0110]}B={[1000],[0001],[0110]}
es base para S.S. Con lo que dimS=3.dimS=3.
4.Sea B={sen(x),cos(x),sen(2x)}.B={sen(x),cos(x),sen(2x)}. Es claro que BB genera a H.H. Veamos que BB es linealmente independiente en F:F: sean a,b,ca,b,c tales que asen(x)+bcos(x)+csen(2x)=0,asen(x)+bcos(x)+csen(2x)=0, para todo x∈R.x∈R. Entonces si se toma x=π2,x=π2, se obtiene que a=0, si tomamos x=πx=π obtenemos b=0b=0 y si tomamos x=π4x=π4 se tiene que c=0.c=0. Así, BB es linealmente independiente. Por tanto, una base para HH. Así, dim(H)=3.dim(H)=3.

Ejemplo:

  1. dim(Rn)=n.dim(Rn)=n.
  2. dim(Pn)=n+1.dim(Pn)=n+1.
  3. dim(Mm×n)=m⋅n.dim(Mm×n)=m⋅n.

Teorema: Sea VV un espacio vectorial con dim(V)=n.dim(V)=n. Entonces

  1. Cualquier conjunto linealmente independiente con exactamente nn vectores en VV es una base para V.V.
  2. Cualquier conjunto generador de VV compuesto con exactamente nn vectores es una base para V.V.

Ejemplo: Verifique si el conjunto BB dado es una base para el espacio vectorial VV correspondiente.

  1. B={2,1+x,1+x2}B={2,1+x,1+x2} y V=P2.V=P2.
  2. B={[1221],[1110]},B={[1221],[1110]}, y V={A∈M2×2∣AT=A}.V={A∈M2×2∣AT=A}.

Solución:

  1. Notemos que dim(P2)=3dim(P2)=3 y que BB tiene exactamente 33 vectores. Luego, BB es una base para P2P2 si y sólo si BB es L.I. en P2.P2. Ahora bien, sean a,b,ca,b,c tales que 2a+b(1+x)+c(1+x2)=0.2a+b(1+x)+c(1+x2)=0. Luego, (2a+b+c)+bx+cx2=0(2a+b+c)+bx+cx2=0 y como 1,x,x21,x,x2 son L.I., entonces 2a+b+c=0b=c=0⇒a=b=c=0.2a+b+c=0b=c=0⇒a=b=c=0. Por lo tanto, BB es una base para V.V.
  2. Notemos que dim(V)=3dim(V)=3 y que BB sólo tiene 22 elementos. Por lo tanto, BB no es una base para V.V.

Teorema: Sea WW un subespacio de un espacio vectorial de dimensión finita V.V. Entonces

  1. WW es de dimensión finita y dimW≤dimV.dimW≤dimV.
  2. dimW=dimVdimW=dimV si y sólo si W=V.W=V.

4. Coordenadas

Teorema: Sea BB una base para un espacio vectorial V.V. Para todo v∈Vv∈V existe una única forma de escribir el vector vv como combinación lineal de los vectores de B.B.

Definición: Sea B={v1,v2,…,vn}B={v1,v2,…,vn} una base para un espacio vectorial V.V. Sea v∈Vv∈V tal que v=c1v1+c2v2+⋯+cnvn.v=c1v1+c2v2+⋯+cnvn. Los escalares c1,c2,…,cnc1,c2,…,cn se conocen como las coordenadas de vv con respecto a B,B, y el vector [v]B=[c1⋮cn][v]B=⎡⎢ ⎢⎣c1⋮cn⎤⎥ ⎥⎦ se denomina el vector de coordenadas de con respecto a B.B.

Ejemplo: Sea p(x)=−2+3x−4x2p(x)=−2+3x−4x2. Halle [p]B,[p]B, donde B={1,x,x2}B={1,x,x2} es la base estándar de P2.P2. Si q(x)∈P2q(x)∈P2 cumple que [q]B=[202],[q]B=⎡⎢⎣202⎤⎥⎦, halle q(x).q(x).

Solución: Por definición, [p]B=[−23−4].[p]B=⎡⎢⎣−23−4⎤⎥⎦. Por otro lado, si [q]B=[202],[q]B=⎡⎢⎣202⎤⎥⎦, q(x)=2⋅1+0⋅x+2⋅x2=2+2x2.q(x)=2⋅1+0⋅x+2⋅x2=2+2x2.

Ejemplo: Sea A=[−1320].A=[−1320]. Halle [A]B,[A]B, donde B={E11,E12,E21,E22}B={E11,E12,E21,E22} es la base estándar de M2×2.M2×2.

Solución: Por definición, A=−E11+3E12+2E21+0E22.A=−E11+3E12+2E21+0E22. Luego, [A]B=[−1320].[A]B=⎡⎢ ⎢ ⎢⎣−1320⎤⎥ ⎥ ⎥⎦.

Teorema: Sea BB una base para un espacio vectorial V.V. Para todo u,v∈Vu,v∈V y c∈R:c∈R:

  1. [u+v]B=[u]B+[v]B.[u+v]B=[u]B+[v]B.
  2. [cu]B=c[u]B.[cu]B=c[u]B.

Teorema: Sea B={v1,v2,…,vn}B={v1,v2,…,vn} una base para un espacio vectorial VV y sean u1,…,uk∈V.u1,…,uk∈V. Entonces {u1,…,uk}{u1,…,uk} es L. I. en V si y sólo si {[u1]B,…,[uk]B} es L.I. en Rn.

Ejercicios de práctica

Te invitamos a practicar los conocimientos aprendidos en esta parte de la clase realizando los siguientes ejercicios.