1. Valores y vectores propios
Definición: Sea una matriz de tamaño Un escalar es llamado un valor propio de si existe un vector distinto de cero tal que Un vector de esta naturaleza se conoce como vector propio de correspondiente al valor propio
Ejemplo: Sean Determine si y son vectores propios de En caso afirmativo, diga a qué valor propio corresponde.
Solución: Calculando: Así, es un vector propio de asociado al valor propio Por otro lado, no es vector propio de
Observación: De la definición se sigue que para todo que es vector propio de asocioado al valor de se tiene y por lo tanto , es decir, . Factorizando obtenemos , es decir
Definición: El espacio propio del valor propio de se define por Ahora, notemos que es valor propio de , entonces no tiene solución única, es decir no es invertible y por lo tanto
De ese modo, para calcular los valores propios de basta solucionar la ecuación
Lema: Los valores propios de son las soluciones de la ecuación
¿Cómo hallar los valores y vectores propios de ?
- Calcule el polinomio característico de Factorice y solucione la ecuación característica de
- Las raíces halladas son los valores propios de (no importa que se repitan).
- Para cada valor propio de halle una base para
Observación: Por el teorema fundamental del álgebra, siempre es posible factorizar el polinomio característico de del siguiente modo: Las raíces de son los valores propios de
Definición: Supongamos que el polinomio característico de se factoriza como
- Multiplicidad algebraica del valor propio
- Multiplicidad geométrica del valor propio .
Note que toda matriz de tamaño tiene a lo sumo valores propios. Puede haber valores que se repitan; la multiplicidad algebraica nos dice cuantas veces se repite el valor propio.
Ejemplo: Sea Encuentre el polinomio característico de y los valores propios de Además, caracterice los espacios propios de y calcule una base para cada uno de ellos. Por último, compare las multiplicidades algebraicas y geométricas de cada valor propio de .
Solución: El polinomio característico de está dado por Al tomar tenemos que los valores propios de son y
Hallemos los espacios propios de Para Luego, Por tanto, Para Luego, Por tanto, Las bases para cada uno de los espacios propios son: De lo anterior, tenemos que las multiplicidades algebraicas y geométricas son
Ejemplo: Calcule el polinomio característico de Sabiendo que es un valor propio de halle y compare las multiplicidades algebraica y geométrica de
Solución: Por definición Como sabemos que es una raíz de la ecuación característica tenemos que divide a Aplicando división sintética: Luego, Por tanto, (note que el otro valor propio de es )
Para calcular necesitamos hallar una base para Obtenemos entonces el siguiente sistema homogéneo de ecuaciones: Luego, Por tanto, Luego, tenemos que .
Los dos ejemplos anteriores ilustran una relación que siempre se cumple entre las multiplicidades algebraica y geométrica de cualquier valor propio de una matriz cuadrada.
Lema: Sea un valor propio de una matriz cuadrada entonces
Ejercicios de práctica
Te invitamos a practicar los conocimientos aprendidos en esta parte de la clase realizando los siguientes ejercicios.