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1. Valores y vectores propios
Definición: Sea AA una matriz de tamaño n×n.n×n. Un escalar λλ es llamado un valor propio de AA si existe un vector xx distinto de cero tal que Ax=λx.Ax=λx. Un vector xx de esta naturaleza se conoce como vector propio de AA correspondiente al valor propio λ.λ.
Ejemplo: Sean A=[324202423],x1=[212]yx2=[111].A=⎡⎢⎣324202423⎤⎥⎦,x1=⎡⎢⎣212⎤⎥⎦yx2=⎡⎢⎣111⎤⎥⎦. Determine si x1x1 y x2x2 son vectores propios de A.A. En caso afirmativo, diga a qué valor propio corresponde.
Solución: Calculando: Ax1=[324202423][212]=[16816]=8x1yAx2=[324202423][111]=[949]≠λ[111].Ax1=⎡⎢⎣324202423⎤⎥⎦⎡⎢⎣212⎤⎥⎦=⎡⎢⎣16816⎤⎥⎦=8x1yAx2=⎡⎢⎣324202423⎤⎥⎦⎡⎢⎣111⎤⎥⎦=⎡⎢⎣949⎤⎥⎦≠λ⎡⎢⎣111⎤⎥⎦. Así, x1x1 es un vector propio de AA asociado al valor propio λ=8.λ=8. Por otro lado, x2x2 no es vector propio de A.A.
Observación: De la definición se sigue que para todo x≠0x≠0 que es vector propio de AA asocioado al valor λλ de se tiene Ax=λxAx=λx y por lo tanto Ax−λx=0Ax−λx=0, es decir, Ax−λInx=0Ax−λInx=0. Factorizando obtenemos (A−λIn)x=0(A−λIn)x=0, es decir x∈Nul(A−λIn).x∈Nul(A−λIn).
Definición: El espacio propio del valor propio λλ de AA se define por Eλ=Nul(A−λIn).Eλ=Nul(A−λIn). Ahora, notemos que λλ es valor propio de AA, entonces A−λIn=0A−λIn=0 no tiene solución única, es decir A−λInA−λIn no es invertible y por lo tanto det(A−λIn)=0.det(A−λIn)=0.
De ese modo, para calcular los valores propios de AA basta solucionar la ecuación det(A−λIn)=0.det(A−λIn)=0.
Lema: Los valores propios de AA son las soluciones de la ecuación det(A−λIn)=0.det(A−λIn)=0.
¿Cómo hallar los valores y vectores propios de AA?
- Calcule el polinomio característico pA(λ)=det(A−λIn)pA(λ)=det(A−λIn) de A.A. Factorice pA(λ)pA(λ) y solucione la ecuación característica de A:pA(λ)=0.A:pA(λ)=0.
- Las raíces halladas son los valores propios de AA (no importa que se repitan).
- Para cada valor propio λλ de A:A: halle una base para Eλ=Nul(A−λIn).Eλ=Nul(A−λIn).
Observación: Por el teorema fundamental del álgebra, siempre es posible factorizar el polinomio característico de AA del siguiente modo: pA(λ)=(−1)n(λ−λ1)r1(λ−λ2)r2⋅⋯⋅(λ−λm)rm, donde m≤n.pA(λ)=(−1)n(λ−λ1)r1(λ−λ2)r2⋅⋯⋅(λ−λm)rm, donde m≤n. Las raíces λ1,λ2,…,λmλ1,λ2,…,λm de pA(λ)pA(λ) son los valores propios de A.A.
Definición: Supongamos que el polinomio característico de AA se factoriza como pA(λ)=(−1)n(λ−λ1)r1(λ−λ2)r2⋅⋯⋅(λ−λm)rm.pA(λ)=(−1)n(λ−λ1)r1(λ−λ2)r2⋅⋯⋅(λ−λm)rm.
- Multiplicidad algebraica del valor propio λk:λk: m.a.(λk)=rk.m.a.(λk)=rk.
- Multiplicidad geométrica del valor propio λk:λk: m.g.(λk)=dim(Eλk)m.g.(λk)=dim(Eλk).
Note que toda matriz AA de tamaño n×nn×n tiene a lo sumo nn valores propios. Puede haber valores que se repitan; la multiplicidad algebraica nos dice cuantas veces se repite el valor propio.
Ejemplo: Sea A=[−1110−2011−1].A=⎡⎢⎣−1110−2011−1⎤⎥⎦. Encuentre el polinomio característico de AA y los valores propios de A.A. Además, caracterice los espacios propios de AA y calcule una base para cada uno de ellos. Por último, compare las multiplicidades algebraicas y geométricas de cada valor propio de AA.
Solución: El polinomio característico de AA está dado por pA(λ)=det(A−λI3):pA(λ)=det(A−λI3): pA(λ)=|−1−λ110−2−λ011−1−λ|=(−2−λ)⋅|−1−λ11−1−λ|=−(λ+2)⋅[(−1−λ)2−1]=−(λ+2)⋅[1+2λ+λ2−1]=−(λ+2)⋅(λ2+2λ)=−(λ+2)⋅λ⋅(λ+2)=−λ⋅(λ+2)2.pA(λ)=∣∣
∣∣−1−λ110−2−λ011−1−λ∣∣
∣∣=(−2−λ)⋅∣∣∣−1−λ11−1−λ∣∣∣=−(λ+2)⋅[(−1−λ)2−1]=−(λ+2)⋅[1+2λ+λ2−1]=−(λ+2)⋅(λ2+2λ)=−(λ+2)⋅λ⋅(λ+2)=−λ⋅(λ+2)2. Al tomar pA(λ)=0,pA(λ)=0, tenemos que los valores propios de AA son λ1=−2λ1=−2 y λ2=0.λ2=0.
Hallemos los espacios propios de A.A. Para λ1=−2:E−2=Nul(A−(−2)I3).λ1=−2:E−2=Nul(A−(−2)I3). Luego, A+2I3=[111000111]→[111000000]⇒[xyz]=[−y−zyz]=y[−110]+z[−101].A+2I3=⎡⎢⎣111000111⎤⎥⎦→⎡⎢⎣111000000⎤⎥⎦⇒⎡⎢⎣xyz⎤⎥⎦=⎡⎢⎣−y−zyz⎤⎥⎦=y⎡⎢⎣−110⎤⎥⎦+z⎡⎢⎣−101⎤⎥⎦. Por tanto, E−2={[xyz]∣x+y+z=0}=gen([−110],[−101]).E−2=⎧⎪⎨⎪⎩⎡⎢⎣xyz⎤⎥⎦∣x+y+z=0⎫⎪⎬⎪⎭=gen⎛⎜⎝⎡⎢⎣−110⎤⎥⎦,⎡⎢⎣−101⎤⎥⎦⎞⎟⎠. Para λ2=0:E0=Nul(A+0I3).λ2=0:E0=Nul(A+0I3). Luego, A=[−11102011−1]→[−111010020]→[10−1010000]⇒[xyz]=[z0z]=z[101].A=⎡⎢⎣−11102011−1⎤⎥⎦→⎡⎢⎣−111010020⎤⎥⎦→⎡⎢⎣10−1010000⎤⎥⎦⇒⎡⎢⎣xyz⎤⎥⎦=⎡⎢⎣z0z⎤⎥⎦=z⎡⎢⎣101⎤⎥⎦. Por tanto, E0={[x0z]∣x−z=0}=gen([101]).E0=⎧⎪⎨⎪⎩⎡⎢⎣x0z⎤⎥⎦∣x−z=0⎫⎪⎬⎪⎭=gen⎛⎜⎝⎡⎢⎣101⎤⎥⎦⎞⎟⎠. Las bases para cada uno de los espacios propios son: B1={[−110],[−101]}yB2={[101]}B1=⎧⎪⎨⎪⎩⎡⎢⎣−110⎤⎥⎦,⎡⎢⎣−101⎤⎥⎦⎫⎪⎬⎪⎭yB2=⎧⎪⎨⎪⎩⎡⎢⎣101⎤⎥⎦⎫⎪⎬⎪⎭ De lo anterior, tenemos que las multiplicidades algebraicas y geométricas son m.a.(−2)=2=m.g.(−2)ym.a.(0)=1=m.g.(0).m.a.(−2)=2=m.g.(−2)ym.a.(0)=1=m.g.(0).
Ejemplo: Calcule el polinomio característico de A=[0100012−54].A=⎡⎢⎣0100012−54⎤⎥⎦. Sabiendo que λ1=1λ1=1 es un valor propio de A,A, halle y compare las multiplicidades algebraica y geométrica de λ1=1.λ1=1.
Solución: Por definición pA(λ)=|−λ100−λ12−54−λ|=(−λ)⋅|−λ1−54−λ|−1⋅|0124−λ|=−λ(λ2−4λ+5)−(−2)=−λ3+4λ2−5λ+2pA(λ)=∣∣
∣∣−λ100−λ12−54−λ∣∣
∣∣=(−λ)⋅∣∣∣−λ1−54−λ∣∣∣−1⋅∣∣∣0124−λ∣∣∣=−λ(λ2−4λ+5)−(−2)=−λ3+4λ2−5λ+2 Como sabemos que λ1=1λ1=1 es una raíz de la ecuación característica pA(λ)=0,pA(λ)=0, tenemos que λ−1λ−1 divide a pA(λ).pA(λ). Aplicando división sintética: −14−52−13−21−13−20−14−52−13−21−13−20 Luego, pA(λ)=(λ−1)(−λ2+3λ−2)=−(λ−1)(λ2−3λ+2)=−(λ−1)(λ−1)(λ−2)=−(λ−1)2(λ−2).pA(λ)=(λ−1)(−λ2+3λ−2)=−(λ−1)(λ2−3λ+2)=−(λ−1)(λ−1)(λ−2)=−(λ−1)2(λ−2). Por tanto, m.a.(1)=2m.a.(1)=2 (note que el otro valor propio de AA es λ2=2λ2=2)
Para calcular m.g.(1),m.g.(1), necesitamos hallar una base para E1=nul(A−1I3):E1=nul(A−1I3): A−I3=[−1100−112−53]→[−11001−10−33]→[−10101−1000]→[10−101−1000].A−I3=⎡⎢⎣−1100−112−53⎤⎥⎦→⎡⎢⎣−11001−10−33⎤⎥⎦→⎡⎢⎣−10101−1000⎤⎥⎦→⎡⎢⎣10−101−1000⎤⎥⎦. Obtenemos entonces el siguiente sistema homogéneo de ecuaciones: {x−z=0x=zy−z=0⇒y=zz=tz=t⇒[xyz]=[ttt]=t[111],t∈R. Luego, E1=gen([111]). Por tanto, m.g.(1)=1. Luego, tenemos que m.g.(1)=1.
Los dos ejemplos anteriores ilustran una relación que siempre se cumple entre las multiplicidades algebraica y geométrica de cualquier valor propio de una matriz cuadrada.
Lema: Sea λ un valor propio de una matriz cuadrada A, entonces m.g.(λ)≤m.a.(λ).
Ejercicios de práctica
Te invitamos a practicar los conocimientos aprendidos en esta parte de la clase realizando los siguientes ejercicios.