1. Valores y vectores propios

Definición: Sea $A$ una matriz de tamaño $n\times n.$ Un escalar $\lambda $ es llamado un valor propio de $A$ si existe un vector $x$ distinto de cero tal que $Ax=\lambda x.$ Un vector $x$ de esta naturaleza se conoce como vector propio de $A$ correspondiente al valor propio $\lambda.$

Ejemplo: Sean \begin{equation*} A=\left[ \begin{array}{rrr} 3 & 2 & 4 \\ 2 & 0 & 2 \\ 4 & 2 & 3 \end{array} \right] , \qquad x_{1}=\left[ \begin{array}{r} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array} \right] \qquad \text{y}\qquad x_{2}=\left[ \begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right]. \end{equation*} Determine si $x_{1}$ y $x_{2}$ son vectores propios de $A.$ En caso afirmativo, diga a qué valor propio corresponde.

Solución: Calculando: \begin{equation*} Ax_{1}=\left[ \begin{array}{rrr} 3 & 2 & 4 \\ 2 & 0 & 2 \\ 4 & 2 & 3 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{r} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} 16 \\ 8 \\ 16 \end{array} \right] =8x_{1}\qquad \text{y}\qquad Ax_{2}=\left[ \begin{array}{ccc} 3 & 2 & 4 \\ 2 & 0 & 2 \\ 4 & 2 & 3 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} 9 \\ 4 \\ 9 \end{array} \right] \neq \lambda \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right]. \end{equation*} Así, $x_{1}$ es un vector propio de $A$ asociado al valor propio $\lambda =8.$ Por otro lado, $x_{2}$ no es vector propio de $A.$

Observación: De la definición se sigue que para todo $x\neq \mathbf{0}$ que es vector propio de $A$ asocioado al valor $\lambda$ de se tiene $Ax=\lambda x$ y por lo tanto $Ax-\lambda x=\mathbf{0}$, es decir, $Ax-\lambda I_{n}x=\mathbf{0}$. Factorizando obtenemos $\left( A-\lambda I_{n}\right) x=\mathbf{0}$, es decir $x\in \mathrm{Nul}\left( A-\lambda I_{n}\right).$

Definición: El espacio propio del valor propio $\lambda $ de $A$ se define por \begin{equation*} E_{\lambda }=\mathrm{Nul}\left( A-\lambda I_{n}\right) . \end{equation*} Ahora, notemos que $\lambda $ es valor propio de $A$, entonces $A-\lambda I_{n}=\mathbf{0}$ no tiene solución única, es decir $A-\lambda I_{n}$ no es invertible y por lo tanto $\text{det}\left( A-\lambda I_{n}\right) =0.$
De ese modo, para calcular los valores propios de $A$ basta solucionar la ecuación $\text{det} \left( A-\lambda I_{n}\right) =0.$

Lema: Los valores propios de $A$ son las soluciones de la ecuación $\text{det}\left( A-\lambda I_{n}\right) =0.$

¿Cómo hallar los valores y vectores propios de $A$?

1. Calcule el polinomio característico $p_{A}\left( \lambda \right) =\det \left( A-\lambda I_{n}\right) $ de $A.$
Factorice $p_{A}\left( \lambda \right) $ y solucione la ecuación característica de $A:p_{A}\left( \lambda \right) =0.$
2. Las raíces halladas son los valores propios de $A$ (no importa que se repitan).
3. Para cada valor propio $\lambda $ de $A:$ halle una base para $E_{\lambda }=\mathrm{Nul}\left( A-\lambda I_{n}\right).$

Observación: Por el teorema fundamental del álgebra, siempre es posible factorizar el polinomio característico de $A$ del siguiente modo: \begin{equation*} p_{A}\left( \lambda \right) = \left( -1\right) ^{n}\left( \lambda -\lambda _{1}\right) ^{r_{1}}\left( \lambda -\lambda _{2}\right) ^{r_{2}}\cdot \cdots \cdot \left( \lambda -\lambda _{m}\right) ^{r_{m}},\ \text{donde }m\leq n. \end{equation*} Las raíces $\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{m}$ de $p_{A}\left( \lambda \right) $ son los valores propios de $A.$

Definición: Supongamos que el polinomio característico de $A$ se factoriza como \begin{equation*} p_{A}\left( \lambda \right) = \left( -1\right) ^{n}\left( \lambda -\lambda _{1}\right) ^{r_{1}}\left( \lambda -\lambda _{2}\right) ^{r_{2}}\cdot \cdots \cdot \left( \lambda -\lambda _{m}\right) ^{r_{m}}. \end{equation*}

1. Multiplicidad algebraica del valor propio $\lambda _{k}:$ $\mathrm{m.a.}\left( \lambda_{k}\right)=r_{k}.$
2. Multiplicidad geométrica del valor propio $\lambda _{k}:$ $\mathrm{m.g.} \left( \lambda _{k}\right)=\dim \left( E_{\lambda _{k}}\right)$.

Note que toda matriz $A$ de tamaño $n\times n$ tiene a lo sumo $n$ valores propios. Puede haber valores que se repitan; la multiplicidad algebraica nos dice cuantas veces se repite el valor propio.

Ejemplo: Sea $A=\left[ \begin{array}{rrr} -1 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \end{array} \right].$ Encuentre el polinomio característico de $A$ y los valores propios de $A.$ Además, caracterice los espacios propios de $A$ y calcule una base para cada uno de ellos. Por último, compare las multiplicidades algebraicas y geométricas de cada valor propio de $A$.

Solución: El polinomio característico de $A$ está dado por $p_{A}\left( \lambda \right) =\det \left( A-\lambda I_{3}\right) : $ \begin{align*} p_{A}\left( \lambda \right)&=\left\vert \begin{array}{ccc} -1-\lambda & 1 & 1 \\ 0 & -2-\lambda & 0 \\ 1 & 1 & -1-\lambda \end{array} \right\vert =\left( -2-\lambda \right) \cdot \left\vert \begin{array}{rc} -1-\lambda & 1 \\ 1 & -1-\lambda \end{array} \right\vert = -\left( \lambda +2\right) \cdot \left[ \left( -1-\lambda \right) ^{2}-1\right] \\ &=-\left( \lambda +2\right) \cdot \left[ 1+2\lambda +\lambda ^{2}-1\right]= -\left( \lambda +2\right) \cdot \left( \lambda ^{2}+2\lambda \right)= -\left( \lambda +2\right) \cdot \lambda \cdot \left( \lambda +2\right)= -\lambda \cdot \left( \lambda +2\right) ^{2}. \end{align*} Al tomar $p_{A}\left( \lambda \right) =0,$ tenemos que los valores propios de $A$ son $\lambda _{1}=-2$ y $\lambda _{2}=0.$
Hallemos los espacios propios de $A.$ Para $\lambda _{1}=-2:E_{-2}=\mathrm{Nul}\left( A-\left( -2\right) I_{3}\right).$ Luego, \begin{equation*} A+2I_{3}=\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right] \rightarrow \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right] \quad \Rightarrow \quad \left[ \begin{array}{r} x \\ y \\ z \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} -y-z \\ y \\ z \end{array} \right] =y\left[ \begin{array}{r} -1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right] \;+\;z\left[ \begin{array}{r} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right]. \end{equation*} Por tanto, \begin{equation*} E_{-2}=\left\{ \left[ \begin{array}{r} x \\ y \\ z \end{array} \right] \mid x+y+z=0\right\} =\mathrm{gen}\left( \left[ \begin{array}{r} -1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right] , \left[ \begin{array}{r} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right] \right) . \end{equation*} Para $\lambda _{2}=0:E_{0}=\mathrm{Nul}\left( A+0I_{3}\right).$ Luego, \begin{equation*} A=\left[ \begin{array}{rrr} -1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \end{array} \right] \rightarrow \left[ \begin{array}{rrr} -1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \end{array} \right] \rightarrow \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right] \quad \Rightarrow \quad \left[ \begin{array}{r} x \\ y \\ z \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{r} z \\ 0 \\ z \end{array} \right] =z\left[ \begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right] . \end{equation*} Por tanto, \begin{equation*} E_{0}=\left\{ \left[ \begin{array}{r} x \\ 0 \\ z \end{array} \right] \mid x-z=0\right\} =\mathrm{gen}\left( \left[ \begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right] \right). \end{equation*} Las bases para cada uno de los espacios propios son: \begin{equation*} \mathcal{B}_{1} =\left\{ \left[ \begin{array}{r} -1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right] ,\left[ \begin{array}{r} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right] \right\} \qquad \text{y}\qquad \mathcal{B}_{2}=\left\{ \left[ \begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right] \right\} \end{equation*} De lo anterior, tenemos que las multiplicidades algebraicas y geométricas son \begin{equation*} \mathrm{m.a.}\left( -2\right) =2=\mathrm{m.g.}\left( -2\right) \qquad \text{y}\qquad \mathrm{m.a.}\left( 0\right) =1=\mathrm{m.g.}\left( 0\right). \end{equation*}

Ejemplo: Calcule el polinomio característico de \begin{equation*} A=\left[ \begin{array}{rrr} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 2 & -5 & 4 \end{array} \right]. \end{equation*} Sabiendo que $\lambda _{1}=1$ es un valor propio de $A,$ halle y compare las multiplicidades algebraica y geométrica de $\lambda_{1}=1.$

Solución: Por definición \begin{align*} p_{A}\left( \lambda \right)&= \begin{vmatrix} -\lambda & 1 & 0 \\ 0 & -\lambda & 1 \\ 2 & -5 & 4-\lambda \end{vmatrix} =\left( -\lambda \right) \cdot \begin{vmatrix} -\lambda & 1 \\ -5 & 4-\lambda \end{vmatrix} -1\cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 4-\lambda \end{vmatrix} \\ &=-\lambda \left( \lambda ^{2}-4\lambda +5\right) -\left( -2\right)= -\lambda ^{3}+4\lambda ^{2}-5\lambda +2 \end{align*} Como sabemos que $\lambda _{1}=1$ es una raíz de la ecuación característica $p_{A}\left( \lambda \right) =0,$ tenemos que $\lambda -1 $ divide a $p_{A}\left( \lambda \right) .$ Aplicando división sintética: \begin{equation*} \begin{array}{rrrrrrr|r} -1 & & 4 & & -5 & & 2 & \\ & & -1 & & 3 & & -2 & 1 \\ \hline -1 & & 3 & & -2 & & 0 & \end{array} \end{equation*} Luego, \begin{equation*} \begin{array}{lllll} p_{A}\left( \lambda \right) & = & \left( \lambda -1\right) \left( -\lambda ^{2}+3\lambda -2\right) & = & -\left( \lambda -1\right) \left( \lambda ^{2}-3\lambda +2\right) \\ & & & & \\ & = & -\left( \lambda -1\right) \left( \lambda -1\right) \left( \lambda -2\right) & = & -\left( \lambda -1\right) ^{2}\left( \lambda -2\right). \end{array} \end{equation*} Por tanto, $\mathrm{m.a.}\left( 1\right) =2$ (note que el otro valor propio de $A$ es $\lambda _{2}=2$)
Para calcular $\mathrm{m.g.}\left( 1\right) ,$ necesitamos hallar una base para $E_{1}=\mathrm{nul}\left( A-1I_{3}\right) : $ \begin{equation*} A-I_{3}=\left[ \begin{array}{rrr} -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 2 & -5 & 3 \end{array} \right] \rightarrow \left[ \begin{array}{rrr} -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & -3 & 3 \end{array} \right] \rightarrow \left[ \begin{array}{rrr} -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right] \rightarrow \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right]. \end{equation*} Obtenemos entonces el siguiente sistema homogéneo de ecuaciones: \begin{equation*} \left\{ \begin{array}{rlllllllll} x-z & = & 0 & & & & x & = & z & \\ y-z & = & 0 & & \Rightarrow & & y & = & z & \\ z & = & t & & & & z & = & t & \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} t \\ t \\ t \end{array} \right] =t\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right] , \quad t\in \mathbb{R}. \end{equation*} Luego, \begin{equation*} E_{1} =\mathrm{gen}\left( \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right] \right) . \end{equation*} Por tanto, $\mathrm{m.g.}\left( 1\right) =1.$ Luego, tenemos que $\mathrm{m.g.}\left( 1\right) =1$.
Los dos ejemplos anteriores ilustran una relación que siempre se cumple entre las multiplicidades algebraica y geométrica de cualquier valor propio de una matriz cuadrada.

Lema: Sea $\lambda $ un valor propio de una matriz cuadrada $A,$ entonces \begin{equation*} \mathrm{m.g.}\left( \lambda \right)\leq \mathrm{m.a.}\left(\lambda \right). \end{equation*}

Ejercicios de práctica

Te invitamos a practicar los conocimientos aprendidos en esta parte de la clase realizando los siguientes ejercicios.