2. Propiedades

Teorema: Los valores propios de una matriz triangular (superior o inferior) son las entradas de su diagonal principal.

Prueba: Consideremos el caso de una matriz triangular superior $U$ de tamaño $n\times n$. (El caso de una matriz triangular inferior es similar). Supongamos entonces que $U$ es una matriz de la forma $$\begin{equation*} U=\left[ \begin{array}{cccc} u_{11} & u_{12} & \cdots & u_{1n} \\ 0 & u_{22} & \cdots & u_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & u_{nn} \end{array} \right] . \end{equation*}$$ Ahora, $$\begin{equation*} p_{U}\left( \lambda \right) =\det \left( U-\lambda I\right) =\left\vert \begin{array}{cccc} u_{11}-\lambda & u_{12} & \cdots & u_{1n} \\ 0 & u_{22}-\lambda & \cdots & u_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & u_{nn}-\lambda \end{array} \right\vert =\left( u_{11}-\lambda \right) \left( u_{22}-\lambda \right) \cdot \cdots \cdot \left( u_{nn}-\lambda \right) . \end{equation*}$$ Luego, los valores propios de $U$ son los elementos de su diagonal principal.

Observación: En general si $A$ es una matriz cuadrada y $U$ es una matriz escalonada obtenida a partir de $A$ mediante operaciones elementales de fila, los valores propios de $A$ y $U$ son diferentes, por lo tanto los valores propios de una matriz no se puede calcular a partir de una forma escalonada.

Teorema: Sea $A$ una matriz cuadrada de tamaño $n.$ Entonces $A$ es invertible si y sólo si $\lambda =0$ no es un valor propio de $A.$

Prueba: Para demostrar el teorema vamos a demostrar que $\lambda =0$ es valor propio de $A$ si y solamente si $A$ no es invertile. En efecto, por definición $\lambda=0$ es valor propio de $A$ si y solamente si existe un vector $x\ne 0$ tal que $Ax=(0)x=0$. Por lo tanto $Nul(A)$ es un subespacio no trivial y esto ocurre si y sólo $A$ no es invertible.

Teorema: Sea $A$ una matriz $n\times n$ con valor propio $\lambda$ y $x$ un vector propio de $A$ correspondiente a $\lambda.$

1. Para cualquier entero positivo $k:\lambda ^{k}$ es un valor propio de $A^{k}$ con vector propio correspondiente $x.$
2. Si $A$ es invertible, entonces $\dfrac{1}{\lambda }$ es un valor propio de $A^{-1}$ con vector propio correspondiente $x.$
3. Si $A$ es invertible y $k$ es un entero negativo$,$ entonces $\lambda ^{k}$ es un valor propio de $A^{k}$ con vector propio correspondiente $x.$

Ejemplo: Tomemos la matriz  $A=\left[ \begin{array}{rr} -1 & 1  \\ 0 & 2 \end{array} \right].$ Dado que $A$ es una matriz triangular superior sabemos que los valores propios de $A$ corresponden a las entradas de la diagonal principal. Por lo tanto los valores propios de $A$ son $\lambda_{1}=-1$ y $\lambda_{2}=2$. De aquí se sigue entonces que los valores propios de $A^{10}$ son $\lambda_{1}=(-1)^{10}=1$ y $\lambda_{2}=2^{10}=1024$.

Teorema: Supongamos que la matriz $A$ de $n\times n$ tiene vectores propios $v_{1},v_{2},\ldots ,v_{m}$ con los valores propios correspondientes $\lambda_{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{m}.$ Si $x=c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}+\cdots+c_{m}v_{m}$ es un elemento de $\mathrm{gen}\left( v_{1},v_{2},\ldots ,v_{m}\right),$ entonces $$\begin{equation*} A^{k}x=c_{1}\left( \lambda _{1}\right) ^{k}v_{1}+c_{2}\left( \lambda _{2}\right) ^{k}v_{2}+\cdots +c_{m}\left( \lambda _{m}\right) ^{k}v_{m}. \end{equation*}$$  
Teorema: Sea $A$ una matriz $n\times n$ y sean $\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots,\lambda _{m}$ valores propios distintos de $A$ con los vectores propios correspondientes $v_{1},v_{2},\ldots ,v_{m}.$ Entonces $v_{1},v_{2},\ldots ,v_{m}$ son linealmente independientes en $\mathbb{R}^{n}.$

Ejercicios de práctica

Te invitamos a practicar los conocimientos aprendidos en esta parte de la clase realizando los siguientes ejercicios.