1. Semejanza de matrices

Definición: Sean $A$ y $B$ matrices de tamaño $n\times n$. Decimos que $A$ es semejante a $B$ si existe una matriz $P$ invertible de tamaño $n\times n$ tal que $$\begin{equation*} P^{-1}AP=B. \end{equation*}$$ Si $A$ es semejante a $B,$ escribimos $A\sim B.$

Teorema: Sean $A$ y $B$ matrices semejantes de tamaño $n\times n.$ Entonces

1. $\det \left( A\right) =\det \left( B\right) .$
2. $A$ es invertible si y sólo si $B$ es invertible.
3. $A$ y $B$ tienen el mismo rango, el mismo polinomio característico y los mismos valores propios

2. Diagonalización de matrices

Definición: Decimos que una matriz $A$ de tamaño $n\times n$ es diagonalizable si existen una matriz invertible $P$ y una matriz diagonal $D$ tales que $$\begin{equation*} P^{-1}AP=D \ \text{ o equivalentemente},\  A=PDP^{-1}. \end{equation*}$$ En otras palabras, $A$ es diagonalizable si es semejante a una matriz diagonal.

Observación: Como $A$ y $D$ tienen los mismos valores propios, las entradas diagonales de $D$ son los valores propios de $A$ repetidos de acuerdo a su multiplicidad algebraica.

Teorema: Una matriz $A$ de tamaño $n\times n$ es diagonalizable si y sólo si $A$ tiene $n$ vectores propios linealmente independientes.

Prueba: $\left( \Rightarrow \right)$ Supongamos que existen $P$ invertible y $D$ diagonal tales que $P^{-1}AP=D,$ esto es $AP=PD.$ Sean $p_{1},\ldots ,p_{n}$ las columnas de $P$ y sean $\lambda _{1},...,\lambda _{n}$ las entradas de la diagonal de $D.$ Entonces $$\begin{equation*} \left[ Ap_{1}\mid \cdots \mid Ap_{n}\right] =A\left[ p_{1}\mid \cdots \mid p_{n}\right] =\left[ p_{1}\mid \cdots \mid p_{n}\right] \left[ \begin{array}{ccc} \lambda _{1} & & \\ & \ddots & \\ & & \lambda _{n} \end{array} \right] =\left[ \lambda _{1}p_{1}\mid \cdots \mid \lambda _{n}p_{n}\right] . \end{equation*}$$ Luego, $Ap_{k}=\lambda _{k}p_{k}$. Esto es, las columnas de $P$ son vectores propios de $A.$ Como $P$ es invertible (sus columnas son linealmente independientes, se sigue que $A$ tiene $n$ vectores propios L.I.)

$\left( \Leftarrow \right)$ Supongamos que $A$ tiene $n$ vectores propios L.I. $p_{1},\ldots ,p_{n}$ asociados a los valores propios $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}.$ Entonces $Ap_{k}=\lambda _{k}p_{k}$, para $k=1,\ldots ,n.$ Si $P$ es la matriz cuyas columnas son $p_{1}, p_{2},\dots, p_{n}$, lo anterior es equivalente a que $AP=PD.$ Como los vectores $p_{k}$ son L.I., entonces la matriz $P$ es invertible. Por tanto, $P^{-1}AP=D.$

Observación: Así, $A$ es diagonalizable si y sólo si existen una matriz $P$ cuyas columnas son $n$ vectores propios L. I. de $A$ y una matriz diagonal $D$ cuyas entradas diagonales son los valores propios de $A$ correspondientes a los vectores propios en $P$ en el mismo orden.

Teorema: Sea $A$ una matriz de tamaño $n\times n$ y sean $\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{k}$ valores propios distintos de $A.$ Si $\mathcal{B}_{i}$ es una base para $E_{\lambda _{i}},$ entonces $\mathcal{B}_{1}\cup \mathcal{B}_{2}\cup \cdots \cup \mathcal{B}_{k}$ es linealmente independiente.

Ejemplo: ¿Es la matriz $A=\left[ \begin{array}{rrr} -1 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \end{array} \right]$ diagonalizable?

Solución: Vimos que $A$ tiene dos valores propios $\lambda_{1}=-2$ y $\lambda _{2}=0.$ También mostramos que $$\begin{equation*} \mathcal{B}_{1}=\left\{ \left[ \begin{array}{r} -1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right] , \left[ \begin{array}{r} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right] \right\} \qquad \text{y}\qquad \mathcal{B}_{2}=\left\{ \left[ \begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right] \right\} , \end{equation*}$$ son bases para los espacios propios de $\lambda _{1}=-2$ y $\lambda _{2}=0,$ respectivamente. Por tanto, $A$ tiene $3$ vectores propios linealmente independientes. Luego, $A$ es diagonalizable.

Corolario: Si $A$ es una matriz de tamaño $n\times n$ que tiene $n$ valores propios distintos, entonces $A$ es diagonalizable.

Lema: Sea $A$ una matriz cuadrada. La multiplicidad geométrica de cada valor propio es menor o igual que su multiplicidad algebraica.

Teorema de Diagonalización: Sea $A$ una matriz de orden $n\times n$ cuyos distintos valores propios son $\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{k}.$ Los siguientes enunciados son equivalentes

1. $A$ es diagonalizable.
2. La unión de las bases de los espacios propios de $A$ contiene $n$ vectores.
3. La multiplicidad algebraica de cada valor propio es igual a su multiplicidad geométrica.

Ejemplo: Sea $A$ una matriz de orden $3\times 3$ con valores propios $\lambda _{1}=2$ y $\lambda _{2}=-2.$ Si los espacios propios son $$\begin{equation*} E_{2}=\left\{ \left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right] \in \mathbb{R}^{3}\mid x-y-z=0\right\} \qquad \text{y}\qquad E_{-2}= \mathrm{gen}\left( \left[ \begin{array}{r} 1 \\ -1 \\ 1 \end{array} \right] , \left[ \begin{array}{r} 2 \\ -2 \\ 2 \end{array} \right] \right) , \end{equation*}$$ responda las siguientes preguntas justificando su respuesta.

1. ¿Es $A$ una matriz diagonalizable? En caso afirmativo, halle $P$ invertible y $D$ diagonal tales que $P^{-1}AP=D.$ ¿Cuál es el determinante de $A$? ¿Es $A$ invertible?
2. ¿Es la matriz $B=2A+3I_{3}$ diagonalizable? ¿Es $B$ invertible?
3. ¿Cuál es el polinomio característico de $A$?

Solución:

1. Primero, notemos que $$\begin{equation*} E_{2}=\mathrm{gen}\left( \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right] , \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right] \right) \qquad \text{y}\qquad E_{-2}=\mathrm{espacio}\left( \left[ \begin{array}{r} 1 \\ -1 \\ 1 \end{array} \right] \right) . \end{equation*}$$ Luego, la unión de las bases de los espacios propios de $A$ contiene $3$ vectores. Por el teorema de diagonalización, $A$ es diagonalizable.
   Hay varias posibilidades. Podemos tomar, por ejemplo, $$\begin{equation*} P=\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} \right] \qquad \text{y}\qquad D=\left[ \begin{array}{rrr} 2 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array} \right]. \end{equation*}$$
2. Como $A\sim D,$ entonces $$\begin{equation*} \det A=\det D=2\cdot \left( -2\right) \cdot 2=-8\neq 0. \end{equation*}$$ Luego, $A$ es invertible.
3. Veamos si la matriz $B=2A+3I_{3}$ es diagonalizable. Por 1., $P^{-1}AP=D$ con $P$ invertible y $D$ diagonal. Luego, $$\begin{equation*} B=2A+3I_{3}=2\left( PDP^{-1}\right) +3PI_{3}P^{-1} =P\left( 2D\right) P^{-1}+P\left( 3I_{3}\right) P^{-1}=P\left( 2D+3I_{3}\right) P^{-1}. \end{equation*}$$ Así, $P^{-1}BP=2D+3I_{3}.$ Como $P$ es invertible y $2D+3I_{3}$ es diagonal, se sigue que $B$ es diagonalizable.
   Notemos que $$\begin{equation*} 2D+3I_{3} =\left[ \begin{array}{rrr} 4 & 0 & 0 \\ 0 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{array} \right] +\left[ \begin{array}{rrr} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{rrr} 7 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end{array} \right]. \end{equation*}$$ Luego, $\det B=\det \left( 2D+3I_{3}\right) =-49\neq 0.$ Por consiguiente, $B$ también es invertible.
4. Dado que $A$ es diagonalizable, tenemos que $\mathrm{m.a.}\left( -2\right) =\mathrm{m.g.}\left( -2\right) =1$ y $\mathrm{m.a.}\left( 2\right) =\mathrm{m.g.}\left( 2\right) =2.$ Por tanto, $$\begin{equation*} p_{A}\left( \lambda \right) =\left( -1\right) ^{3}\cdot \left( \lambda -\left( -2\right) \right) ^{1}\cdot \left( \lambda -2\right) ^{2}=-\left( \lambda +2\right) \cdot \left( \lambda -2\right) ^{2}. \end{equation*}$$

Ejemplo: ¿Es $A=\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} \right]$ diagonalizable?

Solución: Hallemos el polinomio característico para la matriz $A$ $$\begin{equation*} p_{A}\left( \lambda \right) =\left\vert \begin{array}{ccc} 1-\lambda & 0 & 1 \\ 0 & 1-\lambda & -1 \\ 1 & 1 & -\lambda \end{array} \right\vert =-\lambda ^{3}+2\lambda ^{2}-\lambda =-\lambda \left( \lambda ^{2}-2\lambda +1\right) =-\lambda \left( \lambda -1\right) ^{2}. \end{equation*}$$ Luego, los valores propios de $A$ son $\lambda _{1}=0$ con $\mathrm{m.a.} \left( 0\right) =1$ y $\lambda _{2}=1$ con $\mathrm{m.a.}\left( 1\right) =2.$
Ahora, encontremos bases para los espacios propios asociados a los valores propios de $A:$ $$\begin{equation*} \begin{array}{lllllllll} A-0I_{3} & = & A & = & \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} \right] \rightarrow \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right] & & \Rightarrow & & E_{0}=\mathrm{gen}\left( \left[ \begin{array}{r} -1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right] \right) . \\ & & & & & & & & \\ A-1I_{3} & = & A-I_{3}& = & \left[ \begin{array}{rrr} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \end{array} \right] \rightarrow \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right] & & \Rightarrow & & E_{1}=\mathrm{gen}\left( \left[ \begin{array}{r} -1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right] \right). \end{array} \end{equation*}$$ Por tanto, $\mathrm{m.g.}\left( 0\right) =1$ y $\mathrm{m.g.}\left( 1\right) =1.$ Como $$\begin{equation*} \mathrm{m.a.}\left( 1\right) =2\neq 1=\mathrm{m.g.}\left( 1\right) , \end{equation*}$$ tenemos que $A$ no es diagonalizable.

Ejemplo: Sea $A$ diagonalizable. Pruebe que si $A$ es invertible, entonces $A^{-1}$ también es diagonalizable.

Prueba: Como $A$ es diagonalizable, existen matrices $P$ invertible y $D$ diagonal tales que $$\begin{equation*} P^{-1}AP=D \end{equation*}$$ Como $A$ es invertible, tenemos que $\det D=\det A\neq 0.$ Luego, $D$ también es invertible. Luego, $$\begin{equation*} D^{-1}= \left( P^{-1}AP\right) ^{-1}=P^{-1}A^{-1}\left( P^{-1}\right) ^{-1}=P^{-1}A^{-1}P. \end{equation*}$$ Como $P^{-1}$ es invertible y $D^{-1}$ es diagonal, podemos concluir que $A^{-1}$ es diagonalizable.

Ejercicios de práctica

Te invitamos a practicar los conocimientos aprendidos en esta parte de la clase realizando los siguientes ejercicios.