1. Conjuntos de vectores ortogonales y ortonormales

Recordemos que dos vectores $u,v\in \mathbb{R}^{n}$ son ortogonales si $u\cdot v=0$. Geométricamente esto significa que el ángulo entre $u$ y $v$ es $\pi/2$ radianes o equivalentemente de $90$ grados.

Definición: Un conjunto de vectores $\left\{ v_{1},v_{2},\ldots ,v_{k}\right\}$ en $\mathbb{R}^{n}$ se denomina conjunto ortogonal si todos los pares de vectores distintos del conjunto son ortogonales; es decir, $v_{i}\cdot v_{j}=0$ siempre que $i\neq j,$ para $i,j=1,2,\ldots ,k.$. Si además $v_{i}\cdot v_{i}=1$, es decir, $\left\Vert v_{i}\right\Vert =1$ para todo $i=1,\ldots ,k,$ diremos que el conjunto es ortonormal.

Ejemplos:

1. En $\mathbb{R}^{n}:\left\{ e_{1},e_{2},\ldots ,e_{n}\right\}$ es un conjunto ortogonal y ortonormal.
2. En $\mathbb{R}^{3}:\left\{ \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right] ,\left[ \begin{array}{r} 0 \\ -1 \\ 1 \end{array} \right] , \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right] \right\}$ es un conjunto ortogonal, pero no ortonormal (¿por qué?)
3. En $\mathbb{R}^{4}:\left\{ v_{1}=\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right], v_{2}=\left[ \begin{array}{r} -2 \\ 1 \\ 1 \\ 2 \end{array} \right], v_{3}=\left[ \begin{array}{r} -2 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right] \right\}$ no es un conjunto ortogonal: $v_{1}\cdot v_{2}=0=v_{1}\cdot v_{3}.$ Pero, $v_{2}\cdot v_{3}=6\neq 0.$

Teorema: Si $\left\{ v_{1},v_{2},\ldots ,v_{k}\right\}$ es un conjunto ortogonal de vectores distintos de cero en $\mathbb{R}^{n},$ entonces estos vectores son L.I.

Prueba: Sean $c_{1},\ldots ,c_{k}$ escalares tales que $c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}+\cdots+c_{k}v_{k}=0,$ entonces $$\begin{equation*} v_{i}\cdot \left( c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}+\cdots +c_{k}v_{k}\right) =v_{i}\cdot 0=0. \end{equation*}$$ Por propiedades del producto punto $$\begin{equation} c_{1}\left( v_{i}\cdot v_{1}\right) +c_{2}\left( v_{i}\cdot v_{2}\right) +\cdots +c_{k}\left( v_{i}\cdot v_{k}\right) =0 \end{equation}$$ Como $\left\{ v_{1},v_{2},\ldots ,v_{k}\right\}$ es ortogonal, $v_{i}\cdot v_{j}=0$ para $i\neq j$. Luego, la combinación lineal anterior se reduce al térrmino $c_{i}\left( v_{i}\cdot v_{i}\right) =0.$ Como $v_{i}$ es un vector no nulo, se sigue que $c_{i}=0.$
Así, hemos visto que $c_{i}=0$ para $i=1,\ldots ,k.$ Esto significa que $\left\{ v_{1},v_{2},\ldots ,v_{k}\right\}$ es linealmente independientes.

Definición: Sea $W$ un subespacio de $\mathbb{R}^{n}.$

1. Una base ortogonal de $W$ es una base de $W$ que también es un conjunto ortogonal.
2. Una base ortonormal de $W$ es una base de $W$ que es un conjunto ortonormal.

Observaciones:

1. Sea $\mathcal{B}=\left\{v_{1},\ldots ,v_{m}\right\}$ una base ortogonal para un subespacio $W$ de $\mathbb{R}^{n}.$ Consideremos los vectores normalizados: $$\begin{equation*} q_{k}=\dfrac{1}{\left\Vert v_{k}\right\Vert }v_{k},\qquad k=1,2,\ldots ,m. \end{equation*}$$ Entonces $\left\{ q_{1},q_{2},\ldots ,q_{m}\right\}$ es una base ortonormal para $W.$
2. Si $\mathcal{B}$ es una base ortonormal para $W$, entonces $\mathcal{B}$ es una base ortogonal para $W$. El recíproco no es cierto.
   

Ejemplo: La base estándar $\mathcal{E}=\left\{ e_{1},e_{2},\ldots ,e_{n}\right\}$ es una base ortonormal para $\mathbb{R}^n$.

Ejemplo: Encuentre una base ortonormal para el subespacio $W=\left.\left\{ \left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right] \right|x+y-2z=0\right\}$ de $\mathbb{R}^{3}.$

Solución: Dado que $x=-y+2z,$ entonces los vectores de $W$ se pueden escribir de la forma $\left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right]= \left[ \begin{array}{c} -y+2z \\ y \\ z \end{array} \right]=y \left[ \begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right]+z \left[ \begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1\end{array} \right].$ Como las variables $y$, $z$ pueden tomar valores arbitrarios, es decir, son variables libres, de aquí se sigue que: $$\begin{equation*} W=\mathrm{gen}\left( \left[ \begin{array}{r} -1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right] ,\left[ \begin{array}{r} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right] \right) . \end{equation*}$$ Hallemos una base $\mathcal{B}=\left\{ v_{1},v_{2}\right\}$ ortogonal para $W:$ tomemos $v_{1}=\left[ \begin{array}{r} -1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right] .$ Sea $v_{2}=\left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right] \in W$ tal que $v_{1}\cdot v_{2}=0.$ Luego, $$\begin{equation*} \begin{array}{rcc} x+y-2z & = & 0 \\ -x+y & = & 0 \end{array} \quad \Rightarrow \quad \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 1 & -2 \\ -1 & 1 & 0 \end{array} \right] \rightarrow \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \end{array} \right] \quad \Rightarrow \quad v_{2}=\left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} z \\ z \\ z \end{array} \right] =z\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right] ,\quad z\in \mathbb{R}. \end{equation*}$$ Así, una posible base ortogonal para $W$ es $$\begin{equation*} \mathcal{B}=\left\{ u=\left[ \begin{array}{r} -1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right] ,\quad v=\left[ \begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right] \right\} . \end{equation*}$$ Por tanto, una base ortonormal para $W$ será $\mathcal{B}^{\prime}=\left\{ \dfrac{\sqrt{2}}{2}\left[ \begin{array}{r} -1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right] ,\quad \dfrac{\sqrt{3}}{3}\left[ \begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right] \right\}.$

Teorema: Sea $\mathcal{B}=\left\{ v_{1},\ldots ,v_{m}\right\}$ una base ortogonal de un subespacio $W$ de $\mathbb{R}^{n}.$ Cualquier vector $w\in W$ se puede escribir como combinación lineal de los vectores de la base ortogonal $\mathcal{B}$ del siguiente modo: $$\begin{equation*} w=\left( \dfrac{w\cdot v_{1}}{v_{1}\cdot v_{1}}\right) v_{1}+ \left( \dfrac{w\cdot v_{2}}{v_{2}\cdot v_{2}}\right) v_{2}+\cdots + \left( \dfrac{w\cdot v_{m}}{v_{m}\cdot v_{m}}\right) v_{m}. \end{equation*}$$

Prueba: Si $w\in W,$ existen escalares únicos $c_{1},\ldots ,c_{m}$ tales que $w=c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}+\cdots +c_{k}v_{m}.$ Tomemos el producto punto de esta combinación lineal con $v_{k}\in \mathcal{B}:$ $$\begin{eqnarray*} w\cdot v_{k} &=&\left( c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}+\cdots +c_{m}v_{m}\right) \cdot v_{k} \\ &=&c_{1}\left( v_{1}\cdot v_{k}\right) +c_{2}\left( v_{2}\cdot v_{k}\right) +\cdots +c_{k}\left( v_{k}\cdot v_{k}\right) +\cdots +c_{m}\left( v_{m}\cdot v_{k}\right) =c_{k}\left( v_{k}\cdot v_{k}\right) . \end{eqnarray*}$$ Lo anterior, se cumple porque $v_{i}\cdot v_{k}=0,$ si $i\neq k.$ Por tanto, $c_{k}=\dfrac{w\cdot v_{k}}{v_{k}\cdot v_{k}}.$

Observación: Por un teorema anterior para toda base ortogonal $\mathcal{B}=\left\{ v_{1},\ldots ,v_{m}\right\}$ de $W$ se tiene que $\left[ w\right] _{\mathcal{B}}=\left[ \begin{array}{c} \dfrac{w\cdot v_{1}}{v_{1}\cdot v_{1}} \\ \\ \dfrac{w\cdot v_{2}}{v_{2}\cdot v_{2}} \\ \vdots \\ \dfrac{w\cdot v_{m}}{v_{m}\cdot v_{m}} \end{array} \right].$

Ejemplo: En el ejemplo anterior, vimos que $\mathcal{B}=\left\{ u=\left[ \begin{array}{r} -1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right] ,\quad v=\left[ \begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right]\right\}$ es una base ortogonal para el subespacio $W$ que corresponde al plano en $\mathbb{R}^{3}$ con ecuación $x+y-2z=0$. Notemos que $w=\left[ \begin{array}{c} 5 \\ 1 \\ 3 \end{array} \right] \in W$. Por lo tanto  $$\begin{equation*} \left[ w\right] _{\mathcal{B}}=\left[ \begin{array}{r} -4/2 \\ 9/3 \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{r} -2 \\ 3 \end{array} \right]. \end{equation*}$$

Ejercicios de práctica

Te invitamos a practicar los conocimientos aprendidos en esta parte de la clase realizando los siguientes ejercicios.