2. Matrices ortogonales

 
Teorema: Las columnas de una matriz $Q$ de orden $m\times n$ forman un conjunto ortonormal si y sólo si $Q^{T}Q=I_{n}.$

Definición: Una matriz $Q$ de tamaño $n\times n$ cuyas columnas forman un conjunto ortonormal se denomina matriz ortogonal.
 
Observación: Si $Q$ es una matriz ortogonal, entonces $Q^{T}Q=I_{n}.$ En otras palabras, $Q^{-1}=Q^{T}.$

Corolario: Una matriz cuadrada $Q$ es ortogonal si y sólo si $Q^{-1}=Q^{T}.$
 
Ejemplo: Las siguientes matrices \begin{equation*} A=\left[ \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{array} \right] ,\qquad B=\left[ \begin{array}{ccc} \cos \theta \sin \theta & -\cos \theta & -\sin ^{2}\theta \\ \cos ^{2}\theta & \sin \theta & -\cos \theta \sin \theta \\ \sin \theta & 0 & \cos \theta \end{array} \right] \qquad \text{y}\qquad C=\left[ \begin{array}{cc} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array} \right] \end{equation*} son ortogonales. Por ejemplo, \begin{equation*} A^{T}A=\left[ \begin{array}{rrr} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{rrr} 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right] . \end{equation*} Es decir, $A^{-1}=A^{T}.$ Similarmente, se puede proceder con $B$ y $C.$
 
Propiedades de las Matrices Ortogonales: Sea $Q$ una matriz ortogonal de tamaño $n\times n.$ Entonces

1. $Q^{T}\left( =Q^{-1}\right) $ también es ortogonal.
2. Las filas de $Q$ forman un conjunto ortonormal.
3. $\det Q=\pm 1.$
4. Para todo $u,v\in \mathbb{R}^{n}:Qu\cdot Qv=u\cdot v\quad$ y $ \quad \left\Vert Qu\right\Vert =\left\Vert u\right\Vert .$
5. Para todo $u,v\in \mathbb{R}^{n}:$ el ángulo entre $u$ y $v$ es igual al ángulo entre $Qu$ y $Qv.$
6. Si $\lambda $ es un valor propio real de $Q,$ entonces $\lambda =\pm 1.$
   

Prueba: Demostremos la propiedad 4. Dados $u,v\in \mathbb{R}^{n}:$ \begin{equation*} Qu\cdot Qv=\left( Qu\right) ^{T}\left( Qv\right) =\left( u^{T}Q^{T}\right) Qv=u^{T}\left( Q^{T}Q\right) v=u^{T}\;I_{n}\;v=u^{T}\;v=u\cdot v. \end{equation*} En particular, \begin{equation*} \left\Vert Qu\right\Vert =\sqrt{Qu\cdot Qu}=\sqrt{u\cdot u}=\left\Vert u\right\Vert . \end{equation*}
 
Ejemplo: Pruebe que si $P$ y $Q$ son matrices ortogonales $n\times n,$ entonces $PQ$ también lo es.
 
Solución: Por hipótesis, \begin{equation*} P^{-1}=P^{T}\qquad \text{y}\qquad Q^{-1}=Q^{T}. \end{equation*} Como $P$ y $Q$ sn invertibles, entonces $PQ$ también es invertible y además \begin{equation*} \left( PQ\right) ^{-1}=Q^{-1}\;P^{-1}=Q^{T}\;P^{T}=\left( PQ\right) ^{T}. \end{equation*} Luego, $PQ$ también es ortogonal.

Ejercicios de práctica

Te invitamos a practicar los conocimientos aprendidos en esta parte de la clase realizando los siguientes ejercicios.