1. Complementos ortogonales

Definición: Sea $W$ un subespacio de $\mathbb{R}^{n}.$ Decimos que $v\in \mathbb{R}^{n}$ es ortogonal a $W$ si $v$ es ortogonal a todo vector en $W.$
El conjunto de todos los vectores que son ortogonales a $W$ se denomina el complemento ortogonal de $W:$ $$\begin{equation*} W^{\perp }=\left\{ v\in \mathbb{R}^{n}\mid v\cdot w=0\text{ para todo }w\in W\right\}. \end{equation*}$$
Teorema: Si $W$ es un subespacio de $\mathbb{R}^{n},$ entonces $W^{\perp }$ también es un subespacio de $\mathbb{R}^{n}.$

Observación: Si $\mathcal{B}=\left\{u_{1},u_{2},\ldots ,u_{k}\right\}$ es una base para $W:$

Teorema: Sea $A$ una matriz de orden $m\times n.$ Entonces

1. $\left( \mathrm{Ren}\left( A\right) \right) ^{\perp }= \mathrm{Nul}\left( A\right).$
2. $\left( \text{Col}\left( A\right) \right) ^{\perp }=\mathrm{Nul}\left( A^{T}\right) .$
3. $\left( \mathrm{Nul}\left( A\right) \right) ^{\perp }= \mathrm{Ren}\left( A\right)$.
4. $\left(\mathrm{Nul}\left( A^{T}\right) \right) ^{\perp } =\text{Col}\left( A\right).$

Observación: A toda matriz $A$ se le pueden asociar cuatro subespacios: $$\begin{equation*} \text{Col}\left( A\right) ,\qquad \mathrm{Ren}\left( A\right), \qquad \mathrm{Nul}\left( A\right) \qquad \text{y}\qquad \mathrm{Nul}(A^{T}) \end{equation*}$$ llamados los subespacios fundamentales de $A.$

Ejemplo: Sea $W=\left.\left\{ \left[ \begin{array}{c} a+b+c+d \\ a+2b+c+2d \\ 2a+3b+2c+3d \\ 2a+3b+2c+4d \end{array} \right] \right| a,b,c,d\in \mathbb{R}\right\}.$

1. Muestre que $W$ es un subespacio de $\mathbb{R}^{4}.$
2. Halle una base para $W.$
3. Encuentre el complemento ortogonal para $W.$
4. Halle una base para $W^{\perp }.$

Solución:

1. $W$ es subespacio de $\mathbb{R}^{4}$ ya que $$\begin{equation*} W=\mathrm{gen}\left( \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 2 \\ 2 \end{array} \right] , \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 3 \end{array} \right] , \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 2 \\ 2 \end{array} \right] , \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{array} \right] \right) = \text{Col}\left(\left[ \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 2 & 4 \end{array} \right]\right) =\text{Col}(A). \end{equation*}$$
2. Una base para $W$ es el conjunto $$\begin{equation*} \mathcal{B}_{W}=\left\{ \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 2 \\ 2 \end{array} \right] , \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 3 \end{array} \right] ,\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{array} \right] \right\} , \qquad \qquad \text{ya que } \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 2 & 4 \end{array} \right] \rightarrow \cdots \rightarrow \left[ \begin{array}{cccc} \mathbf{1} & 1 & 1 & 1 \\ 0 & \mathbf{1} & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \mathbf{1} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right]. \end{equation*}$$
3. Dado que $W=\text{Col}A,$ por el teorema anterior. $$\begin{equation*} W^{\perp }=\left( \text{Col}A\right) ^{\perp }= \mathrm{Nul}\left( A^{T}\right) =\mathrm{Nul}\left[ \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 & 3 \\ 1 & 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{array} \right] \end{equation*}$$ Aplicando eliminación de Gauss-Jordan: $$\begin{equation*} \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 & 3 \\ 1 & 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{array} \right] \rightarrow \cdots \rightarrow \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right]. \end{equation*}$$ Por tanto, $$\begin{equation*} \left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ w \end{array} \right] \in W^{\perp }\quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ w \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{r} -z \\ -z \\ z \\ 0 \end{array} \right] =z\left[ \begin{array}{r} -1 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right]. \qquad \qquad \text{Luego, }W^{\perp }=\mathrm{gen}\left( \left[ \begin{array}{r} -1 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right] \right). \end{equation*}$$
4. Una base para $W^{\perp }$ es $$\begin{equation*} \mathcal{B}_{W^{\perp }} =\left\{ \left[ \begin{array}{r} -1 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right] \right\}. \end{equation*}$$

Ejemplo: Sea $H=\left\{\left. \left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ w \end{array} \right] \in \mathbb{R}^{4}\right| \begin{array}{r} x+y+z+w=0 \\ x+y+2z=0 \end{array} \right\} .\qquad$

1. Encuentre $H$ y $H^{\perp }$.
2. Halle bases para $H$ y $H^{\perp },$ respectivamente.

Solución:

1. Notemos que el subespacio $H$ lo podemos ver como el espacio nulo de una matriz $A:$ $$\begin{equation*} H=\mathrm{Nul}\left[ \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 0 \end{array} \right] =\mathrm{Nul}\left( A\right) . \end{equation*}$$ Luego, por el teorema anterior $$\begin{equation*} H^{\perp }=\left( \mathrm{Nul}A\right) ^{\perp }=\mathrm{Ren}\left( A\right) =\mathrm{Ren}\left[ \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 0 \end{array} \right]. \end{equation*}$$
2. Aplicando eliminación de Gauss-Jordan: $$\begin{equation*} A=\left[ \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 0 \end{array} \right] \rightarrow \cdots \rightarrow \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{array} \right]. \end{equation*}$$ Luego, $$\begin{equation*} \left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ w \end{array} \right] \in H\quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ w \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} -y-2w \\ y \\ w \\ w \end{array} \right] =y\left[ \begin{array}{r} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right] +w\left[ \begin{array}{r} -2 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right] . \end{equation*}$$ Por tanto, podemos tomar como bases para $H$ y $H^{\perp }$ los conjuntos $$\begin{equation*} \mathcal{B}_{H}=\left\{ \left[ \begin{array}{r} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right] ,\left[ \begin{array}{r} -2 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right] \right\} \qquad \text{y}\qquad \mathcal{B}_{H^{\perp }}=\left\{ \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right] ,\left[ \begin{array}{r} 0 \\ 0 \\ 1 \\ -1 \end{array} \right] \right\} , \end{equation*}$$ respectivamente.

Ejercicios de práctica

Te invitamos a practicar los conocimientos aprendidos en esta parte de la clase realizando los siguientes ejercicios.