2. Proyecciones ortogonales

Definición: Sea $\left\{ u_{1},\ldots ,u_{k}\right\}$ una base ortogonal para el subespacio $W$ de $\mathbb{R}^{n}.$ Para cualquier $v\in \mathbb{R}^{n}$, definimos

1. La proyección ortogonal de $v$ sobre $W$ como el vector $$\begin{equation*} \mathrm{proy}_{W}\left( v\right)= \left(\dfrac{u_{1}\cdot v}{u_{1}\cdot u_{1}}\right) u_{1}+\left(\dfrac{u_{2}\cdot v}{u_{2}\cdot u_{2}}\right)u_{2} +\cdots +\left(\dfrac{u_{k}\cdot v}{u_{k}\cdot u_{k}}\right)u_{k} \end{equation*}$$
2. La componente de $v$ ortogonal a $W$ como el vector $$\begin{equation*} \mathrm{perp}_{W}\left( v\right) =v-\mathrm{proy}_{W}\left( v\right) . \end{equation*}$$

Ejemplo: Sean $$\begin{equation*} W=\left.\left\{ \left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right] \in \mathbb{R}^{3}\right| x+y-2z=0\right\} ,\qquad u_{1}=\left[ \begin{array}{r} 1 \\ -1 \\ 0 \end{array} \right] ,\qquad u_{2}=\left[ \begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right] \qquad \text{y}\qquad v=\left[ \begin{array}{c} -5 \\ 1 \\ 19 \end{array} \right]. \end{equation*}$$ Muestre que $\mathcal{B}=\left\{ u_{1},u_{2}\right\}$ es una base ortogonal para $W.$ Use esta información para calcular $\mathrm{proy}_{W}\left(v\right).$

Solución: Como $W$ es un plano en $\mathbb{R}^{3}$ que pasa por el origen, $\dim \left( W\right) =2.$ Así, $\mathcal{B}$ es una base ortogonal para $W$ si es un conjunto ortogonal y cada elemento de $\mathcal{B}$ está en $W$. Tenemos $$\begin{equation*} u_{1}\cdot u_{2}=\left[ \begin{array}{r} 1 \\ -1 \\ 0 \end{array}\right] \cdot \left[ \begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right] =0,\qquad u_{1}\in W\quad \left( \text{pues }1-1-0=0\right) \qquad \text{y}\qquad u_{2}\in W\quad \left( \text{pues }1+1-2=0\right) . \end{equation*}$$ Luego, $\mathrm{proy}_{W}\left( v\right) =\left(\dfrac{u_{1}\cdot v}{u_{1}\cdot u_{1}}u_{1}\right)+ \left(\dfrac{u_{2}\cdot v}{u_{2}\cdot u_{2}}\right)u_{2} =\dfrac{-6}{2}\left[ \begin{array}{r} 1 \\ -1 \\ 0 \end{array} \right] +\dfrac{15}{3}\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right] =-3\left[ \begin{array}{r} 1 \\ -1 \\ 0 \end{array} \right] +5\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} 2 \\ 8 \\ 5 \end{array} \right].$

Observación: Sean $W$ un subespacio de $\mathbb{R}^{n}$ y $v\in \mathbb{R}^{n}$.

1. $\mathrm{proy}_{W}\left( v\right) =v\Leftrightarrow v\in W$.
2. $\mathrm{proy}_{W}\left( v\right) =0 \Leftrightarrow v\in W^{\perp }.$
3. $\mathrm{perp}_{W}\left( v\right) \in W^{\perp }$.

Prueba:

1. Si $\mathrm{proy}_{W}\left( v\right) =v$, entonces, como $\mathrm{proy}_{W}\left( v\right) \in W,$ se tiene que $v\in W.$ Por otro lado, si $v\in W,$ entonces $$\begin{equation*} v=\left(\dfrac{u_{1}\cdot v}{u_{1}\cdot u_{1}}\right)u_{1}+ \left(\dfrac{u_{2}\cdot v} {u_{2}\cdot u_{2}}\right)u_{2}+\cdots + \left(\dfrac{u_{k}\cdot v}{u_{k}\cdot u_{k}}\right)u_{k}= \mathrm{proy}_{W}\left( v\right) . \end{equation*}$$
2. Si $\mathrm{proy}_{W}\left( v\right) =0,$ entonces $$\begin{equation*} \left(\dfrac{u_{1}\cdot v}{u_{1}\cdot u_{1}}\right) u_{1}+\left(\dfrac{u_{2}\cdot v}{u_{2}\cdot u_{2}}\right)u_{2}+\cdots +\left(\dfrac{u_{k}\cdot v} {u_{k}\cdot u_{k}}\right)u_{k}=0. \end{equation*}$$ Como $\left\{ u_{1},u_{2},\ldots ,u_{k}\right\}$ es L.I. en $\mathbb{R}^{n}$, entonces $u_{1}\cdot v=0,$ $u_{2}\cdot v=0,\ldots ,u_{k}\cdot v=0$. Luego, $v\in W^{\perp }$.
   Recíprocamente, si $v\in W^{\perp }$ entonces $u_{1}\cdot v=0,$ $u_{2}\cdot v=0,\ldots ,u_{k}\cdot v=0.$ Así $$\begin{equation*} \mathrm{proy}_{W}\left( v\right) = \left(\dfrac{u_{1}\cdot v}{u_{1}\cdot u_{1}}\right) u_{1}+\left(\dfrac{u_{2}\cdot v}{u_{2}\cdot u_{2}}\right)u_{2} +\cdots +\left(\dfrac{u_{k}\cdot v}{u_{k}\cdot u_{k}}\right)u_{k} =\left(\dfrac{0}{u_{1}\cdot u_{1}}\right)u_{1}+ \left(\dfrac{0}{u_{2}\cdot u_{2}}\right)u_{2} +\cdots +\left(\dfrac{0}{u_{k}\cdot u_{k}}\right)u_{k}=0. \end{equation*}$$
3. Sea $p=\mathrm{perp}_{W}\left( v\right) =v-\mathrm{proy}_{W}\left( v\right) .$ Calculemos $p\cdot u_{i}:$ $$\begin{equation*} p\cdot u_{i}=v\cdot u_{i}-\mathrm{proy}_{W}\left( v\right) \cdot u_{i}=v\cdot u_{i}-\left(\dfrac{u_{1}\cdot v}{u_{1}\cdot u_{1}}\right) \left( u_{1}\cdot u_{i}\right) -\cdots -\left(\dfrac{u_{k}\cdot v}{u_{k}\cdot u_{k}} \right)\left( u_{k}\cdot u_{i}\right) =v\cdot u_{i}- \left(\dfrac{u_{i}\cdot v}{u_{i}\cdot u_{i}}\right) \left( u_{i}\cdot u_{i}\right) =0. \end{equation*}$$ Luego, $p\cdot u_{i}=0$ para $i=1,2,\ldots ,k.$ Por tanto, $p\in W^{\perp }.$

Teorema de la descomposición ortogonal: Sean $W$ un subespacio de $\mathbb{R}^{n}$ y $v$ un vector de $\mathbb{R}^{n}.$ Entonces existen vectores únicos $w\in W$ y $w^{\perp }\in W^{\perp }$ tales que $$\begin{equation*} v=w+w^{\perp }. \end{equation*}$$

Prueba: Dado $v\in \mathbb{R}^{n},$ basta tomar $w=\mathrm{proy}_{W}\left( v\right)\in W$ y $w^{\perp }=\mathrm{perp}_{W}\left( v\right) \in W^{\perp }.$ Luego, $$\begin{equation*} w+w^{\perp }=\mathrm{proy}_{W}\left( v\right) +\left[ \;v-\mathrm{proy} _{W}\left( v\right) \;\right] =v. \end{equation*}$$ La unicidad se deja como lectura en el texto.

Lema: Sea $W$ un subespacio de $\mathbb{R}^{n}.$ Si $\mathcal{B}_{1}=\left\{u_{1},\ldots ,u_{k}\right\}$ y $\mathcal{B}_{2}=\left\{ w_{1},\ldots,w_{p}\right\}$ son bases para $W$ y $W^{\perp },$ respectivamente$,$ entonces $$\begin{equation*} \mathcal{B}_{1}\cup \mathcal{B}_{2}=\left\{ u_{1},u_{2},\ldots ,u_{k},w_{1},w_{2},\ldots ,w_{p}\right\} \end{equation*}$$ es una base para $\mathbb{R}^{n}.$

Teorema: Si $W$ es subespacio de $\mathbb{R}^{n},$ entonces $$\begin{equation*} \dim \left( W\right) +\dim \left( W^{\perp }\right) =n. \end{equation*}$$

Corolario: Si $A$ es una matriz de orden $m\times n,$ entonces $$\begin{equation*} \mathrm{Rango}\left( A\right) +\mathrm{Nulidad}\left( A\right) =n\qquad \text{y}\qquad \mathrm{Rango}\left( A\right) +\mathrm{Nulidad}(A^{T})=m. \end{equation*}$$

Ejemplo: Halle la descomposición ortogonal de $v= \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right]$ con respecto a $W=\left.\left\{ \left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}\right] \right| x-y-z=0\right\} .$

Solución: Fácilmente, se puede verificar que $$\begin{equation*} u_{1}=\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right] \qquad \text{y}\qquad u_{2}=\left[ \begin{array}{r} 1 \\ -1 \\ 2 \end{array} \right] \end{equation*}$$ conforman una base ortogonal para $W.$ Luego, $$\begin{equation*} w=\mathrm{proy}_{W}\left( v\right) = \left(\dfrac{u_{1}\cdot v}{u_{1}\cdot u_{1}}\right) u_{1}+\left(\dfrac{u_{2}\cdot v}{u_{2}\cdot u_{2}}\right) u_{2}=\frac{2}{2}\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right] +\frac{2}{6}\left[ \begin{array}{r} 1 \\ -1 \\ 2 \end{array} \right] =\frac{1}{3}\left[ \begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ 2 \end{array} \right] \end{equation*}$$ y $$\begin{equation*} w^{\perp }=\mathrm{perp}_{W}\left( v\right) =v-\mathrm{proy}_{W}\left( v\right) =\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right] -\frac{1}{3}\left[ \begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ 2 \end{array} \right] =\frac{1}{3}\left[ \begin{array}{r} -1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right]. \end{equation*}$$ Por último, notemos que $$\begin{equation*} w+w^{\perp }=\frac{1}{3}\left[ \begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ 2 \end{array} \right] +\frac{1}{3}\left[ \begin{array}{r} -1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right] =\frac{1}{3}\left[ \begin{array}{c} 3 \\ 3 \\ 3 \end{array} \right] =v\qquad \text{y}\qquad w\cdot w^{\perp }=\frac{1}{9}\left( -4+2+2\right) =0. \end{equation*}$$

Ejercicios de práctica

Te invitamos a practicar los conocimientos aprendidos en esta parte de la clase realizando los siguientes ejercicios.