2. Proyecciones ortogonales

Definición: Sea {u1,,uk}{u1,,uk} una base ortogonal para el subespacio WW de Rn.Rn. Para cualquier vRnvRn, definimos

  1. La proyección ortogonal de vv sobre WW como el vector proyW(v)=(u1vu1u1)u1+(u2vu2u2)u2++(ukvukuk)ukproyW(v)=(u1vu1u1)u1+(u2vu2u2)u2++(ukvukuk)uk
  2. La componente de vv ortogonal a WW como el vector perpW(v)=vproyW(v).perpW(v)=vproyW(v).

Ejemplo: Sean W={[xyz]R3|x+y2z=0},u1=[110],u2=[111]yv=[5119].W=xyzR3∣ ∣x+y2z=0,u1=110,u2=111yv=5119. Muestre que B={u1,u2}B={u1,u2} es una base ortogonal para W.W. Use esta información para calcular proyW(v).proyW(v).

Solución: Como WW es un plano en R3R3 que pasa por el origen, dim(W)=2.dim(W)=2. Así, BB es una base ortogonal para WW si es un conjunto ortogonal y cada elemento de BB está en WW. Tenemos u1u2=[110][111]=0,u1W(pues 110=0)yu2W(pues 1+12=0).u1u2=110111=0,u1W(pues 110=0)yu2W(pues 1+12=0). Luego, proyW(v)=(u1vu1u1u1)+(u2vu2u2)u2=62[110]+153[111]=3[110]+5[111]=[285].proyW(v)=(u1vu1u1u1)+(u2vu2u2)u2=62110+153111=3110+5111=285.

Observación: Sean WW un subespacio de RnRn y vRnvRn.

  1. proyW(v)=vvWproyW(v)=vvW.
  2. proyW(v)=0vW.proyW(v)=0vW.
  3. perpW(v)WperpW(v)W.

Prueba:

  1. Si proyW(v)=vproyW(v)=v, entonces, como proyW(v)W,proyW(v)W, se tiene que vW.vW. Por otro lado, si vW,vW, entonces v=(u1vu1u1)u1+(u2vu2u2)u2++(ukvukuk)uk=proyW(v).v=(u1vu1u1)u1+(u2vu2u2)u2++(ukvukuk)uk=proyW(v).
  2. Si proyW(v)=0,proyW(v)=0, entonces (u1vu1u1)u1+(u2vu2u2)u2++(ukvukuk)uk=0.(u1vu1u1)u1+(u2vu2u2)u2++(ukvukuk)uk=0. Como {u1,u2,,uk}{u1,u2,,uk} es L.I. en RnRn, entonces u1v=0,u1v=0, u2v=0,,ukv=0u2v=0,,ukv=0. Luego, vWvW.
    Recíprocamente, si vWvW entonces u1v=0,u1v=0, u2v=0,,ukv=0.u2v=0,,ukv=0. Así proyW(v)=(u1vu1u1)u1+(u2vu2u2)u2++(ukvukuk)uk=(0u1u1)u1+(0u2u2)u2++(0ukuk)uk=0.proyW(v)=(u1vu1u1)u1+(u2vu2u2)u2++(ukvukuk)uk=(0u1u1)u1+(0u2u2)u2++(0ukuk)uk=0.
  3. Sea p=perpW(v)=vproyW(v).p=perpW(v)=vproyW(v). Calculemos pui:pui: pui=vuiproyW(v)ui=vui(u1vu1u1)(u1ui)(ukvukuk)(ukui)=vui(uivuiui)(uiui)=0.pui=vuiproyW(v)ui=vui(u1vu1u1)(u1ui)(ukvukuk)(ukui)=vui(uivuiui)(uiui)=0. Luego, pui=0pui=0 para i=1,2,,k.i=1,2,,k. Por tanto, pW.pW.


Teorema de la descomposición ortogonal: Sean WW un subespacio de RnRn y vv un vector de Rn.Rn. Entonces existen vectores únicos wWwW y wWwW tales que v=w+w.v=w+w.

Prueba:
Dado vRn,vRn, basta tomar w=proyW(v)Ww=proyW(v)W y w=perpW(v)W.w=perpW(v)W. Luego, w+w=proyW(v)+[vproyW(v)]=v.w+w=proyW(v)+[vproyW(v)]=v. La unicidad se deja como lectura en el texto.


Lema: Sea WW un subespacio de Rn.Rn. Si B1={u1,,uk}B1={u1,,uk} y B2={w1,,wp}B2={w1,,wp} son bases para WW y W,W, respectivamente,, entonces B1B2={u1,u2,,uk,w1,w2,,wp}B1B2={u1,u2,,uk,w1,w2,,wp} es una base para Rn.Rn.

Teorema: Si WW es subespacio de Rn,Rn, entonces dim(W)+dim(W)=n.dim(W)+dim(W)=n.

Corolario: Si AA es una matriz de orden m×n,m×n, entonces Rango(A)+Nulidad(A)=nyRango(A)+Nulidad(AT)=m.Rango(A)+Nulidad(A)=nyRango(A)+Nulidad(AT)=m.

Ejemplo: Halle la descomposición ortogonal de v=[111]v=111 con respecto a W={[xyz]|xyz=0}.W=xyz∣ ∣xyz=0.


Solución: Fácilmente, se puede verificar que u1=[110]yu2=[112]u1=110yu2=112 conforman una base ortogonal para W.W. Luego, w=proyW(v)=(u1vu1u1)u1+(u2vu2u2)u2=22[110]+26[112]=13[422]w=proyW(v)=(u1vu1u1)u1+(u2vu2u2)u2=22110+26112=13422 y w=perpW(v)=vproyW(v)=[111]13[422]=13[111].w=perpW(v)=vproyW(v)=11113422=13111. Por último, notemos que w+w=13[422]+13[111]=13[333]=vyww=19(4+2+2)=0.w+w=13422+13111=13333=vyww=19(4+2+2)=0.

Ejercicios de práctica

Te invitamos a practicar los conocimientos aprendidos en esta parte de la clase realizando los siguientes ejercicios.