2. Proyecciones ortogonales
Definición: Sea {u1,…,uk}{u1,…,uk} una base ortogonal para el subespacio WW de Rn.Rn. Para cualquier v∈Rnv∈Rn, definimos
- La proyección ortogonal de vv sobre WW como el vector proyW(v)=(u1⋅vu1⋅u1)u1+(u2⋅vu2⋅u2)u2+⋯+(uk⋅vuk⋅uk)ukproyW(v)=(u1⋅vu1⋅u1)u1+(u2⋅vu2⋅u2)u2+⋯+(uk⋅vuk⋅uk)uk
- La componente de vv ortogonal a WW como el vector perpW(v)=v−proyW(v).perpW(v)=v−proyW(v).
Ejemplo: Sean W={[xyz]∈R3|x+y−2z=0},u1=[1−10],u2=[111]yv=[−5119].W=⎧⎪⎨⎪⎩⎡⎢⎣xyz⎤⎥⎦∈R3∣∣
∣∣x+y−2z=0⎫⎪⎬⎪⎭,u1=⎡⎢⎣1−10⎤⎥⎦,u2=⎡⎢⎣111⎤⎥⎦yv=⎡⎢⎣−5119⎤⎥⎦. Muestre que B={u1,u2}B={u1,u2} es una base ortogonal para W.W. Use esta información para calcular proyW(v).proyW(v).
Solución: Como WW es un plano en R3R3 que pasa por el origen, dim(W)=2.dim(W)=2. Así, BB es una base ortogonal para WW si es un conjunto ortogonal y cada elemento de BB está en WW. Tenemos u1⋅u2=[1−10]⋅[111]=0,u1∈W(pues 1−1−0=0)yu2∈W(pues 1+1−2=0).u1⋅u2=⎡⎢⎣1−10⎤⎥⎦⋅⎡⎢⎣111⎤⎥⎦=0,u1∈W(pues 1−1−0=0)yu2∈W(pues 1+1−2=0). Luego, proyW(v)=(u1⋅vu1⋅u1u1)+(u2⋅vu2⋅u2)u2=−62[1−10]+153[111]=−3[1−10]+5[111]=[285].proyW(v)=(u1⋅vu1⋅u1u1)+(u2⋅vu2⋅u2)u2=−62⎡⎢⎣1−10⎤⎥⎦+153⎡⎢⎣111⎤⎥⎦=−3⎡⎢⎣1−10⎤⎥⎦+5⎡⎢⎣111⎤⎥⎦=⎡⎢⎣285⎤⎥⎦.
Observación: Sean WW un subespacio de RnRn y v∈Rnv∈Rn.
- proyW(v)=v⇔v∈WproyW(v)=v⇔v∈W.
- proyW(v)=0⇔v∈W⊥.proyW(v)=0⇔v∈W⊥.
- perpW(v)∈W⊥perpW(v)∈W⊥.
Prueba:
- Si proyW(v)=vproyW(v)=v, entonces, como proyW(v)∈W,proyW(v)∈W, se tiene que v∈W.v∈W. Por otro lado, si v∈W,v∈W, entonces v=(u1⋅vu1⋅u1)u1+(u2⋅vu2⋅u2)u2+⋯+(uk⋅vuk⋅uk)uk=proyW(v).v=(u1⋅vu1⋅u1)u1+(u2⋅vu2⋅u2)u2+⋯+(uk⋅vuk⋅uk)uk=proyW(v).
- Si proyW(v)=0,proyW(v)=0, entonces (u1⋅vu1⋅u1)u1+(u2⋅vu2⋅u2)u2+⋯+(uk⋅vuk⋅uk)uk=0.(u1⋅vu1⋅u1)u1+(u2⋅vu2⋅u2)u2+⋯+(uk⋅vuk⋅uk)uk=0. Como {u1,u2,…,uk}{u1,u2,…,uk} es L.I. en RnRn, entonces u1⋅v=0,u1⋅v=0, u2⋅v=0,…,uk⋅v=0u2⋅v=0,…,uk⋅v=0. Luego, v∈W⊥v∈W⊥.
Recíprocamente, si v∈W⊥v∈W⊥ entonces u1⋅v=0,u1⋅v=0, u2⋅v=0,…,uk⋅v=0.u2⋅v=0,…,uk⋅v=0. Así proyW(v)=(u1⋅vu1⋅u1)u1+(u2⋅vu2⋅u2)u2+⋯+(uk⋅vuk⋅uk)uk=(0u1⋅u1)u1+(0u2⋅u2)u2+⋯+(0uk⋅uk)uk=0.proyW(v)=(u1⋅vu1⋅u1)u1+(u2⋅vu2⋅u2)u2+⋯+(uk⋅vuk⋅uk)uk=(0u1⋅u1)u1+(0u2⋅u2)u2+⋯+(0uk⋅uk)uk=0. - Sea p=perpW(v)=v−proyW(v).p=perpW(v)=v−proyW(v). Calculemos p⋅ui:p⋅ui: p⋅ui=v⋅ui−proyW(v)⋅ui=v⋅ui−(u1⋅vu1⋅u1)(u1⋅ui)−⋯−(uk⋅vuk⋅uk)(uk⋅ui)=v⋅ui−(ui⋅vui⋅ui)(ui⋅ui)=0.p⋅ui=v⋅ui−proyW(v)⋅ui=v⋅ui−(u1⋅vu1⋅u1)(u1⋅ui)−⋯−(uk⋅vuk⋅uk)(uk⋅ui)=v⋅ui−(ui⋅vui⋅ui)(ui⋅ui)=0. Luego, p⋅ui=0p⋅ui=0 para i=1,2,…,k.i=1,2,…,k. Por tanto, p∈W⊥.p∈W⊥.
Teorema de la descomposición ortogonal: Sean WW un subespacio de RnRn y vv un vector de Rn.Rn. Entonces existen vectores únicos w∈Ww∈W y w⊥∈W⊥w⊥∈W⊥ tales que v=w+w⊥.v=w+w⊥.
Prueba: Dado v∈Rn,v∈Rn, basta tomar w=proyW(v)∈Ww=proyW(v)∈W y w⊥=perpW(v)∈W⊥.w⊥=perpW(v)∈W⊥. Luego, w+w⊥=proyW(v)+[v−proyW(v)]=v.w+w⊥=proyW(v)+[v−proyW(v)]=v. La unicidad se deja como lectura en el texto.
Lema: Sea WW un subespacio de Rn.Rn. Si B1={u1,…,uk}B1={u1,…,uk} y B2={w1,…,wp}B2={w1,…,wp} son bases para WW y W⊥,W⊥, respectivamente,, entonces B1∪B2={u1,u2,…,uk,w1,w2,…,wp}B1∪B2={u1,u2,…,uk,w1,w2,…,wp} es una base para Rn.Rn.
Teorema: Si WW es subespacio de Rn,Rn, entonces dim(W)+dim(W⊥)=n.dim(W)+dim(W⊥)=n.
Corolario: Si AA es una matriz de orden m×n,m×n, entonces Rango(A)+Nulidad(A)=nyRango(A)+Nulidad(AT)=m.Rango(A)+Nulidad(A)=nyRango(A)+Nulidad(AT)=m.
Ejemplo: Halle la descomposición ortogonal de v=[111]v=⎡⎢⎣111⎤⎥⎦ con respecto a W={[xyz]|x−y−z=0}.W=⎧⎪⎨⎪⎩⎡⎢⎣xyz⎤⎥⎦∣∣
∣∣x−y−z=0⎫⎪⎬⎪⎭.
Solución: Fácilmente, se puede verificar que u1=[110]yu2=[1−12]u1=⎡⎢⎣110⎤⎥⎦yu2=⎡⎢⎣1−12⎤⎥⎦ conforman una base ortogonal para W.W. Luego, w=proyW(v)=(u1⋅vu1⋅u1)u1+(u2⋅vu2⋅u2)u2=22[110]+26[1−12]=13[422]w=proyW(v)=(u1⋅vu1⋅u1)u1+(u2⋅vu2⋅u2)u2=22⎡⎢⎣110⎤⎥⎦+26⎡⎢⎣1−12⎤⎥⎦=13⎡⎢⎣422⎤⎥⎦ y w⊥=perpW(v)=v−proyW(v)=[111]−13[422]=13[−111].w⊥=perpW(v)=v−proyW(v)=⎡⎢⎣111⎤⎥⎦−13⎡⎢⎣422⎤⎥⎦=13⎡⎢⎣−111⎤⎥⎦. Por último, notemos que w+w⊥=13[422]+13[−111]=13[333]=vyw⋅w⊥=19(−4+2+2)=0.w+w⊥=13⎡⎢⎣422⎤⎥⎦+13⎡⎢⎣−111⎤⎥⎦=13⎡⎢⎣333⎤⎥⎦=vyw⋅w⊥=19(−4+2+2)=0.
Ejercicios de práctica
Te invitamos a practicar los conocimientos aprendidos en esta parte de la clase realizando los siguientes ejercicios.