Clase 21. Parte 1. Proceso de Gram-Schmidt

1. Proceso de Gram-Schmidt

El proceso de Gram-Schmidt es un algoritmo que nos permite encontrar una base ortogonal de un subespacio WW de RnRn a partir de una base dada para WW. Supongamos entonces que {x1,x2,…,xk}{x1,x2,…,xk} es una base para un subespacio WW de Rn.Rn. Definamos

  1. Paso 1. v1=x1v1=x1, W1=gen(x1)W1=gen(x1).
  2. Paso 2. v2=x2−v1⋅x2v1⋅v1v1v2=x2−v1⋅x2v1⋅v1v1, W2=gen(x1,x2)W2=gen(x1,x2).
  3. Paso 3. v3=x3−v1⋅x3v1⋅v1v1−v2⋅x3v2⋅v2v2v3=x3−v1⋅x3v1⋅v1v1−v2⋅x3v2⋅v2v2, W3=gen(x1,x2,x3)W3=gen(x1,x2,x3) .
  4. Paso kk. vk=xk−v1⋅xkv1⋅v1v1−v2⋅xkv2⋅v2v2−⋯−vk−1⋅xkvk−1⋅vk−1vk−1vk=xk−v1⋅xkv1⋅v1v1−v2⋅xkv2⋅v2v2−⋯−vk−1⋅xkvk−1⋅vk−1vk−1, Wk=WWk=W.

Entonces, para cada i=1,2,…,k,i=1,2,…,k, {v1,v2,…,vi}{v1,v2,…,vi} es una base ortogonal para Wi.Wi. En particular, {v1,v2,…,vk}{v1,v2,…,vk} es una base ortogonal para W.W. Si hacemos qi=1‖vi‖vi,i=1,…,k,qi=1∥vi∥vi,i=1,…,k, entonces {q1,q2,…,qk}{q1,q2,…,qk} es una base ortonormal para W.W.

Ejemplo: Sean W=Ren(A),donde A=[011101−231],yu=[111].W=Ren(A),donde A=⎡⎢⎣011101−231⎤⎥⎦,yu=⎡⎢⎣111⎤⎥⎦.

  1. Halle una base ortogonal para W.W.
  2. Halle proyW(u)proyW(u) y perpW(u).perpW(u).
  3. Halle W⊥W⊥ y una base para éste.

Solución:

  1. Apliquemos eliminación gaussiana a A:A: A→⋯→[101011000]=U⇒C={x1=[101],x2=[011]} es una base para W.A→⋯→⎡⎢⎣101011000⎤⎥⎦=U⇒C=⎧⎪⎨⎪⎩x1=⎡⎢⎣101⎤⎥⎦,x2=⎡⎢⎣011⎤⎥⎦⎫⎪⎬⎪⎭ es una base para W. Apliquemos el proceso de Gram-Schmidt a la base C={x1,x2}C={x1,x2} de W:W: v1=x1=[101]yv2=x2−(v1⋅x2v1⋅v1)v1=[011]−12[101]=12[−121].v1=x1=⎡⎢⎣101⎤⎥⎦yv2=x2−(v1⋅x2v1⋅v1)v1=⎡⎢⎣011⎤⎥⎦−12⎡⎢⎣101⎤⎥⎦=12⎡⎢⎣−121⎤⎥⎦. Luego, B={v1,v2}B={v1,v2} es una base ortogonal para W.W.
  2. Por definición, proyW(u)=(v1⋅uv1⋅v1)v1+(v2⋅uv2⋅v2)v2=22[101]+164[−121]=[101]+13[−121]=23[112]proyW(u)=(v1⋅uv1⋅v1)v1+(v2⋅uv2⋅v2)v2=22⎡⎢⎣101⎤⎥⎦+164⎡⎢⎣−121⎤⎥⎦=⎡⎢⎣101⎤⎥⎦+13⎡⎢⎣−121⎤⎥⎦=23⎡⎢⎣112⎤⎥⎦ y perpW(u)=u−proyW(u)=[111]−23[112]=13[11−1]perpW(u)=u−proyW(u)=⎡⎢⎣111⎤⎥⎦−23⎡⎢⎣112⎤⎥⎦=13⎡⎢⎣11−1⎤⎥⎦
  3. Por teorema, W⊥=(Ren(A))⊥=Nul(A)=Nul(U)=Nul[101011000]⇒[xyz]=[−z−zz]=z[−1−11].W⊥=(Ren(A))⊥=Nul(A)=Nul(U)=Nul⎡⎢⎣101011000⎤⎥⎦⇒⎡⎢⎣xyz⎤⎥⎦=⎡⎢⎣−z−zz⎤⎥⎦=z⎡⎢⎣−1−11⎤⎥⎦. Por tanto, W⊥=gen([−1−11])W⊥=gen⎛⎜⎝⎡⎢⎣−1−11⎤⎥⎦⎞⎟⎠ y {[−1−11]}⎧⎪⎨⎪⎩⎡⎢⎣−1−11⎤⎥⎦⎫⎪⎬⎪⎭ es una base para W⊥W⊥.

Ejemplo: Encuentre una base ortonormal para el subespacio W={[xyzw]∈R4:x−y−z−w=0}.W=⎧⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎨⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩⎡⎢ ⎢ ⎢⎣xyzw⎤⎥ ⎥ ⎥⎦∈R4:x−y−z−w=0⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭.

Solución: Notemos que W=Nul([1−1−1−1])W=Nul([1−1−1−1]). Luego, [xyzw]=[y+z+wyzw]=y[1100]⏟x1+z[1010]⏟x2+w[1001]⏟x3.⎡⎢ ⎢ ⎢⎣xyzw⎤⎥ ⎥ ⎥⎦=⎡⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣y+z+wyzw⎤⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦=y⎡⎢ ⎢ ⎢⎣1100⎤⎥ ⎥ ⎥⎦x1+z⎡⎢ ⎢ ⎢⎣1010⎤⎥ ⎥ ⎥⎦x2+w⎡⎢ ⎢ ⎢⎣1001⎤⎥ ⎥ ⎥⎦x3. Apliquemos el proceso de Gram-Schmidt a la base {x1,x2,x3}{x1,x2,x3} de W:W: v1=x1=[1100],v2=x2−(v1⋅x2v1⋅v1)v1=[1010]−12[1100]=12[1−120],v3=x3−(v1⋅x3v1⋅v1)v1−(v2⋅x3v2⋅v2)v2=[1001]−12[1100]−16[1−120]=13[1−1−13].v1=x1=⎡⎢ ⎢ ⎢⎣1100⎤⎥ ⎥ ⎥⎦,v2=x2−(v1⋅x2v1⋅v1)v1=⎡⎢ ⎢ ⎢⎣1010⎤⎥ ⎥ ⎥⎦−12⎡⎢ ⎢ ⎢⎣1100⎤⎥ ⎥ ⎥⎦=12⎡⎢ ⎢ ⎢⎣1−120⎤⎥ ⎥ ⎥⎦,v3=x3−(v1⋅x3v1⋅v1)v1−(v2⋅x3v2⋅v2)v2=⎡⎢ ⎢ ⎢⎣1001⎤⎥ ⎥ ⎥⎦−12⎡⎢ ⎢ ⎢⎣1100⎤⎥ ⎥ ⎥⎦−16⎡⎢ ⎢ ⎢⎣1−120⎤⎥ ⎥ ⎥⎦=13⎡⎢ ⎢ ⎢⎣1−1−13⎤⎥ ⎥ ⎥⎦. Así, {v1,v2,v3}{v1,v2,v3} es una base ortogonal para W.W. Por último, hagamos q1=1‖v1‖v1=√22[1100],q2=1‖v2‖v2=√66[1−120]yq3=1‖v3‖v3=√36[1−1−13].q1=1∥v1∥v1=√22⎡⎢ ⎢ ⎢⎣1100⎤⎥ ⎥ ⎥⎦,q2=1∥v2∥v2=√66⎡⎢ ⎢ ⎢⎣1−120⎤⎥ ⎥ ⎥⎦yq3=1∥v3∥v3=√36⎡⎢ ⎢ ⎢⎣1−1−13⎤⎥ ⎥ ⎥⎦. Por tanto, {q1,q2,q3}{q1,q2,q3} es una base ortonormal para W.W.

Ejercicios de práctica

Te invitamos a practicar los conocimientos aprendidos en esta parte de la clase realizando los siguientes ejercicios.