1.Formas cuadráticas

Definición: Supongamos que $A$ es una matriz simétrica $n\times n$. La función $f:\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}$ definida por \[ f(\mathbf{x})=\mathbf{x}^{T}A\mathbf{x} \] es llamada una forma cuadrátrica.

Nota: Aquí vemos al vector $\mathbf{x}$ como un vector columna.

Ejemplo: Supongamos que $A$ es la matriz simétrica \[ A=\left[ \begin{array}{cc} 5 & -3/2 \\ -3/2 & 2 \\ \end{array} \right]. \] Entonces la forma cuadrática asociada a $A$ es \[ f(x,y)= \left[ \begin{array}{cc} x & y \end{array} \right]\left[ \begin{array}{cc} 5 & -3/2 \\ -3/2 & 2 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right]=5x^{2}-3xy+2y^{2}. \]

Ejemplo: Supongamos que $B$ es la matriz \[ B=\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2& 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{array} \right]. \] Entonces la forma cuadrática asociada a $B$ es la función \[ g(x,y,z)= \left[ \begin{array}{ccc} x & y &z \end{array} \right] \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2& 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right] =x^{2}+2y^{2}-z^{2}+2xz. \] En general una forma cuadrática en las variables $x, y$ es una función de la forma \[ f(x,y)=ax^2+by^2+cxy. \] Esta forma cuadrática puede escribirse en la forma matricial $f(x,y)=\mathbf{x}^TA\mathbf{x}$ donde $\mathbf{x}=\left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right]$ y \[ A=\left[ \begin{array}{cc} a & c/2 \\ c/2 & b \\ \end{array} \right]. \] De la misma manera una forma cuadrática en las variables $x,y,z$ es una función de la forma \[ f(x,y,z)=ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+dxy+exz+fyz. \] Esta forma cuadrática puede escribirse en la forma matricial $f(x,y,z)=\mathbf{x}^TA\mathbf{x}$ donde $\mathbf{x}=\left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right]$ y \[ A=\left[ \begin{array}{ccc} a & d/2 & e/2\\ d/2 & b & f/2\\ e/2& f/2&c \end{array} \right]. \] En general si $A$ es una matriz simétrica $n\times n$ cuya entrada $i,j$ denotamos por $a_{i,j}$, entonces la forma cuadrática asociada a $A$ está dada por: \[ f(\mathbf{x})=\mathbf{x}^{T}A\mathbf{x}=a_{11}x_{1}^{2}+\cdots+a_{nn}x_{n}^{2}+ \sum_{i < j}2a_{ij}x_{i}x_{j}. \]

Teorema: Después de un cambio de variables apropiado, toda forma cuadrática se puede escribir sin términos mixtos.

Prueba: Sea $A$ la matriz asociada a la forma cuadrática, es decir, la forma cuadrática es de la forma $f(\mathbf{x})=\mathbf{x}^{T}A\mathbf{x}$. Como la matriz $A$ es simétrica entonces es diagonalizable ortogonalmente. Esto significa que podemos encontrar una matriz ortogonal $Q$ y una matriz diagonal $D$ tales que \[ A=QDQ^{T}. \] Si hacemos el cambio de variables $\mathbf{y}=Q^{T}\mathbf{x}$, entonces $\mathbf{y}^{T}=\mathbf{x}^{T}Q$. Así obtenemos \[ \mathbf{x}^{T}A\mathbf{x}= \mathbf{x}^{T}QDQ^{T}\mathbf{x}=\mathbf{y}^{T}D\mathbf{y}. \] Si $\lambda_{1},\dots, \lambda_{n}$ son las entradas de la diagonal principal de la matriz $D$ y $\mathbf{y}^{T}=[y_{1}, y_{2},\dots, y_{n}]$, entonces en las variables $y_{1},\dots, y_{n}$ la forma cuadrática se ve de la forma \[ \mathbf{x}^{T}A\mathbf{x}=\mathbf{y}^{T}D\mathbf{y}=\lambda_{1}y_{1}^{2}+\cdots+\lambda_{n}y_{n}^{2}. \] Nota: Si la matriz $Q$ del teorema anterior es tal que $det(Q)=1$, entonces el cambio de variables $\mathbf{y}^{T}=\mathbf{x}^{T}Q$ corresponde a una rotación en $\mathbb{R}^{n}$

Ejemplo: Escriba la forma cuadrática $f(x_1,x_2)=5x_1^2+4x_1x_2+2x_2^2$ sin términos mixtos.

Solución: En este caso la matriz correspondiente es la matriz \begin{equation*} A=\left[ \begin{array}{rr} 5 & 2 \\ 2 & 2 \end{array} \right] \end{equation*} El polinomio característico de $A$ es $p(\lambda)=(5-\lambda)(2-\lambda)-4=(\lambda-6)(\lambda-1)$. Luego, los valores propios de $A$ son $\lambda_{1}=1$ y $\lambda_{2}=6$. Los correspondientes espacios propios son: \[ E_{1}=\mathrm{gen}\left( \left[ \begin{array}{r} 1 \\ -2 \end{array} \right] \right) \quad \text{ y }\quad E_{6}=\mathrm{gen}\left( \left[ \begin{array}{r} 2 \\ 1 \end{array} \right] \right). \] Por lo tanto se obtiene que $A=QDQ^{T}$, donde \[ Q=\left[ \begin{array}{rr} \frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{2}{\sqrt{5}} \\ -\frac{2}{\sqrt{5}} & \frac{1}{\sqrt{5}} \end{array} \right] \quad \text{ y } D=\left[ \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 6 \\ \end{array} \right]. \] Usando el cambio de variables $\mathbf{y}=Q^{T}\mathbf{x}$ la forma cuadrática se transforma en $f(y_1,y_2)=y_1^2+6y_2^2$  la cual no tiene términos cruzados.

Ejercicios de práctica

Te invitamos a practicar los conocimientos aprendidos en esta parte de la clase realizando los siguientes ejercicios.