2. Graficación de ecuaciones cuadráticas en 2D

Una aplicación importante de la diagonalización ortogonal de matrices simétricas es la identificación de curvas cuadráticas en $\mathbb{R}^{2}$.

Ejemplo: Identifique y grafique la curva dada por la ecuación \[ 5x^{2}+4xy+2y^{2}=6. \] Para empezar notemos que el lado izquierdo de la anterior ecuación es una forma cuadrática, es decir, $5x^{2}+4xy+2y^{2}$ es una forma cuadrática. La matriz asociada a esta forma cuadrática es \begin{equation*} A=\left[ \begin{array}{rr} 5 & 2 \\ 2 & 2 \end{array} \right]. \end{equation*} Los valores propios de $A$ son $\lambda_{1}=1$ y $\lambda_{2}=6$. Los correspondientes espacios propios son: \[ E_{1}=\mathrm{gen}\left( \left[ \begin{array}{r} 1 \\ -2 \end{array} \right] \right) \quad \text{ y } \quad E_{6}=\mathrm{gen}\left( \left[ \begin{array}{r} 2 \\ 1 \end{array} \right] \right). \] Por lo tanto se obtiene que $A=QDQ^{T}$, donde \[ Q=\left[ \begin{array}{rr} \frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{2}{\sqrt{5}} \\ -\frac{2}{\sqrt{5}} & \frac{1}{\sqrt{5}} \end{array} \right]\quad \text{ y } D=\left[ \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 6 \\ \end{array} \right]. \] Hagamos el cambio de variables $\left[ \begin{array}{c} x' \\ y' \end{array} \right]=Q^{T}\left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right]$, es decir, \[ \left[ \begin{array}{c} x' \\ y' \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rr} \frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{2}{\sqrt{5}} \\ -\frac{2}{\sqrt{5}} & \frac{1}{\sqrt{5}} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right]. \] Por lo tanto \[ 5x^{2}+4xy+2y^{2}=\left[ \begin{array}{cc} x & y \end{array} \right]\left[ \begin{array}{cc} 5 & -2 \\ 2 & 2 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right]=\left[ \begin{array}{cc} x' & y' \end{array} \right] \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 6 \end{array} \right]\left[ \begin{array}{c} x' \\ y' \end{array} \right] =(x')^{2}+6(y')^{2}. \] Esto significa que la ecuación $5x^{2}+4xy+2y^{2}=6$ en las variables $x',y'$ se convierte en $(x')^{2}+6(y')^{2}=6$, es decir, \[ \frac{(x')^{2}}{6}+(y')^{2}=1. \] Esta ecuación es la ecuación de una elipse escrita en la forma estándar en las variables $x',y'$. Para encontrar los ejes de esta elipse en las variables $x, y$ debemos recordar que $\left[ \begin{array}{c} x' \\ y' \end{array} \right] =Q^{T} \left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right]$, equivalentemente $\left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right] = Q \left[ \begin{array}{c} x' \\ y' \end{array} \right]$. En las coordenadas $x,y$ el eje $x'$ está generado por \[ q_{1}=Q\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right]= \left[ \begin{array}{r} \frac{1}{\sqrt{5}} \\ -\frac{2}{\sqrt{5}} \end{array} \right] \] y el eje $y'$ está generado por \[ q_{2}=Q\left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right]= \left[ \begin{array}{r} \frac{2}{\sqrt{5}} \\ \frac{1}{\sqrt{5}} \end{array} \right]. \]

3. Clasificación de formas cuadráticas (Tema opcional)

Las formas cuadráticas se puede clasificar de acuerdo con los posibles valores que estas toman. Más precisamente tenemos la siguiente definición.

Definición: Sea $A$ una matriz simérica $n\times n$. Sea $f(\mathbf{x})=\mathbf{x}^{T}A\mathbf{x}$ la forma cuadrática correspondiente. Entonces:

1. Decimos que $f$ es definida positiva si $f(\mathbf{x})>0$ para todo $\mathbf{x}\ne 0$.
2. Decimos que $f$ es definida semi-positiva si $f(\mathbf{x})\ge 0 $ para todo $\mathbf{x}$.
3. Decimos que $f$ es definida negativa si $f(\mathbf{x})<0$ para todo $\mathbf{x}\ne 0$.
4. Decimos que $f$ es definida semi-negativa si $f(\mathbf{x})\le 0 $ para todo $\mathbf{x}$.
5. Decimos que $f$ es indefinida si $f(\mathbf{x})$ toma valores positivos y negativos.
   

Nota: La anterior clasificación también se puede utilizar para matrices simétricas. En otras palabras, una matriz simétrica $A$ es definida positiva si la correspondiente forma cuadrática es definida positiva. De manera similar podemos definir la noción de una matriz definida semi-positiva, negativa, semi-negativa e indefinida.

Esta clasificación de las formas cuadráticas se puede determinar a partir de los valores propios de la matriz $A$. Para esto tenemos el siguiente teorema.

Teorema: Supongamos $f(\mathbf{x})=\mathbf{x}^{T}A\mathbf{x}$ es una forma cuadrática con $A$ una matriz simétrica $n\times n$. Sean $\lambda_{1},\dots, \lambda_{n}$ los valores propios de $A$. Entonces:

1. $f$ es definida positiva si y sólo si $\lambda_{1},\dots, \lambda_{n}> 0$.
2. $f$ es definida semi-positiva si y sólo si $\lambda_{1},\dots, \lambda_{n}\ge 0$.
3. $f$ es definida negativa si y sólo si $\lambda_{1},\dots, \lambda_{n}< 0$.
4. $f$ es definida semi-negativa si y sólo si $\lambda_{1},\dots, \lambda_{n}\le 0$.
5. $f$ es indefinida si y sólo si $A$ tiene valores propios positivos y negativos.

Ejemplo: Consideremos la forma cuadrática $f(x,y)=5x^{2}+4xy+2y^{2}$. La matriz asociada a esta forma cuadrática es \begin{equation*} A=\left[ \begin{array}{rr} 5 & 2 \\ 2 & 2 \end{array} \right]. \end{equation*} Los valores propios de $A$ son $\lambda_{1}=1$ y $\lambda_{2}=6$. Por lo tanto $f$ es una forma definida positiva.

Ejercicios de práctica

Te invitamos a practicar los conocimientos aprendidos en esta parte de la clase realizando los siguientes ejercicios.