1. Vectores en $\mathbb{R}^{n}$

Definición: Definimos el conjunto $\mathbb{R}^{n}$ como el conjunto que contiene todas las $n$-tuplas ordenadas de números reales. Un elemento $v$ de $\mathbb{R}^{n}$ es llamado vector y se representa (como vector columna) de la forma $v=\left[ \begin{array}{c} v_{1} \\ v_{2} \\ \vdots \\ v_{n} \end{array} \right].$ El escalar $v_{i}$ se denomina la $i$-ésima componente de $v$. Por ejemplo el vector $v=\left[ \begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 3 \end{array} \right]$ es un vector en $\mathbb{R}^{3}$ cuyas componentes son $-1$, $1$ y $3$.

Nota: Los vectores también se pueden representar como vectores fila de la forma $v=\left[\begin{array}{cccc} v_{1}, & v_{2}, &\ldots , & v_{n} \end{array} \right].$ En estas notas usualmente vamos a denotar los vectores como vectores columna.

Los vectores se pueden representar geométricamente como se describe a continuación.

Los vectores con dos y tres coordenadas se pueden representar geométricamente en el plano Cartesiano y el espacio Euclidano de tres dimensiones, respectivamente. En el siguiente archivo puedes explorar como se pueden graficar dichos vectores. Vectores en 2D y 3D. Para poder ver bien el archivo se debe instalar el programa Wolfram Player. Este programa se puede descargar de manera gratuita en el siguiente link: Wolfram Player.

Definición: Supongamos que $u=\left[ \begin{array}{c} u_{1} \\ u_{2} \\ \vdots \\ u_{n} \end{array} \right]$ y $v=\left[ \begin{array}{c} v_{1} \\ v_{2} \\ \vdots \\ v_{n} \end{array} \right]$ son vectores en $\mathbb{R}^{n}$ y sea $\lambda$ un escalar (esto significa que $\lambda$ es un número real). Definimos la suma de $u$ y $v$, denotada por $u+v$, como el vector de $\mathbb{R}^{n}$ dado por $$\begin{equation*} u+v=\left[ \begin{array}{c} u_{1} \\ u_{2} \\ \vdots \\ u_{n} \end{array} \right] +\left[ \begin{array}{c} v_{1} \\ v_{2} \\ \vdots \\ v_{n} \end{array} \right] \overset{\text{def.}}{=}\left[ \begin{array}{c} u_{1}+v_{1} \\ u_{2}+v_{2} \\ \vdots \\ u_{n}+v_{n} \end{array} \right] . \end{equation*}$$ Por otro lado, definimos el producto por escalar de $\lambda$ y $v$, denotado por $\lambda v$, como el vector de $\mathbb{R}^{n}:$ $$\begin{equation*} \lambda v=\lambda \left[ \begin{array}{c} v_{1} \\ v_{2} \\ \vdots \\ v_{n} \end{array} \right] \overset{\text{def.}}{=}\left[ \begin{array}{c} \lambda v_{1} \\ \lambda v_{2} \\ \vdots \\ \lambda v_{n} \end{array} \right] . \end{equation*}$$ En otras palabras, la suma y producto por escalar de vectores se realiza componente a componente.

La suma y producto por escalar de vectores se puede interpretar geométricamente de la siguiente manera.

Ejemplo: Sean $v_{1}=\left[ \begin{array}{r} \text{ }1 \\ \text{ }2 \\ -1 \\ \text{ }2 \end{array} \right]$ , $v_{2}=\left[ \begin{array}{r} \text{ }1 \\ \text{ }0 \\ -2 \\ \text{ }0 \end{array} \right]$ y $v_{3}=\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 5 \\ 1 \end{array} \right]$. Calcular:

1. $3v_{1}+2v_{2}-v_{3}$.
2. $v_{1}+v_{2}$.

Solución:

1. $3v_{1}+2v_{2}-v_{3}=3\left[ \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ -1 \\ 2 \end{array} \right]$ +$2\left[ \begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ -2 \\ 0 \end{array} \right]$ -$\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 5 \\ 1 \end{array} \right]$ =$\left[ \begin{array}{r} 3+2-1 \\ 6+0-1 \\ -3-4-5 \\ 6+0-1 \end{array} \right]$ =$\left[ \begin{array}{r} 4 \\ 5 \\ -12 \\ 5 \end{array} \right]$.
2. $v_{2}+v_{3}$=$\left[ \begin{array}{r} \text{ }1 \\ \text{ }0 \\ -2 \\ \text{ }0 \end{array} \right]$ +$\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 5 \\ 1 \end{array} \right]$ =$\left[ \begin{array}{r} 2 \\ 1 \\ 3 \\ 1 \end{array} \right].$

Nota: La suma de vectores solamente está definida para vectores con el mismo número de entradas.

Propiedades: Supongamos que $u,$ $v$ y $w$ son vectores de $\mathbb{R}^{n}$ y $c, d$ escalares. Entonces:

1. $u+v=v+u.$
2. $u+(v+w)=(u+v)+w.$
3. $u+\overrightarrow{\mathbf{0}}=u.$
4. $u+(-u)=\overrightarrow{\mathbf{0}}.$
5. $c(u+v)=cu+cv.$
6. $(c+d)u=cu+du.$
7. $c(du)=(cd)u.$
8. $1u=u.$

En las propiedades 3 y 4, $\overrightarrow{\mathbf{0}}$ denota el vector cuyas componentes son todas iguales a cero.

Ejercicios de práctica

Te invitamos a practicar los conocimientos aprendidos en esta parte de la clase realizando los siguientes ejercicios.