2. Combinaciones Lineales

Definición: Un vector $v$ es combinación lineal de los vectores $v_{1},v_{2},\ldots ,v_{k}$ si existen escalares $c_{1},c_{2},\ldots ,c_{k}$ tales que $$v=c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}+\cdots +c_{k}v_{k}.$$ Los escalares $c_{1},c_{2},...,c_{k}$ son llamados los coeficientes de la combinación lineal.

Ejemplo: Consideremos los vectores $v_{1}=\left[ \begin{array}{r}1 \\ 2 \end{array} \right]$ y $v_{2}=\left[ \begin{array}{r}-1 \\ 0 \end{array} \right]$. Entonces el vector $w=\left[ \begin{array}{r} 1 \\ 4 \end{array} \right]$ es combinación lineal de $v_{1}$ y $v_{2}$ ya que $w=2v_{1}+v_{2}$. Esto se puede ver en la siguiente figura.

Ejemplo: Sean $u=\left[ \begin{array}{r} 1 \\ 2  \\ 0 \end{array} \right]$ y $v=\left[ \begin{array}{r} 0 \\ 0  \\ 1 \end{array} \right]$. Determinar si el vector $w=\left[ \begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right]$ es combinación lineal de los vectores $u$ y $v$.

Solución: El vector $w$ es combianción lineal de $u$ y $v$ si podemos encontrar escalares $c_{1}$ y $c_{2}$ tales que $w=c_{1}u+c_{2}v$. En otras palabras, necesitamos que $$\left[ \begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right]=c_{1}\left[ \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array} \right]+c_{2}\left[ \begin{array}{r} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right]=\left[ \begin{array}{r} c_{1} \\ 2c_{1} \\ c_{2} \end{array} \right].$$ Aquí observamos que dos vectores son iguales si y solamente si sus correspondientes entradas son iguales. De esta forma, igualando las entradas correspondientes de la anterior ecuación, obtenemos las ecuaciones $c_{1}=1$,  $2c_{1}=1$ y $c_{2}=1$. Las dos primeras ecuaciones son contradictorias y esto nos dice que $w$ no se puede escribir como combianción lineal de los vectores $u$ y $v$.

Ejemplo: Supongamos que $u_{1}=\left[ \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ -1 \\ 0 \end{array} \right]$ y $u_{2}=\left[ \begin{array}{r} -1 \\ -3 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right]$. Encuentre el conjunto de todas las combinaciones lineales de dichos vectores.

Solución: Denotemos por $H$ al conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores $u_{1}$ y $u_{2}$. Entonces $$\left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ w\end{array} \right] \in H \text{ si y sólo si }\left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ w \end{array} \right] =a\left[ \begin{array}{r} \text{ }1 \\ \text{ }2 \\ -1 \\ \text{ }0 \end{array} \right] +b\left[ \begin{array}{r} -1 \\ -3 \\ \text{ }2 \\ \text{ }1 \end{array}\right] =\left[ \begin{array}{c} a-b \\ 2a-3b \\ -a+2b \\ b\end{array} \right]$$ para algunos escalares $a$ y $b$. Luego, $$H=\left.\left\{ \left[ \begin{array}{c} a-b \\ 2a-3b \\ -a+2b \\ b \end{array} \right] \right| a,b\in \mathbb{R}\right\}.$$

En el siguiente archivo puedes explorar como cambian las combinaciones lineales geométricamente cuando se cambian los escalares. Combinaciones lineales.          Para poder ver bien el archivo se debe instalar el programa Wolfram Player. Este programa se puede descargar de manera gratuita en el siguiente link: Wolfram Player.

Ejercicios de práctica

Te invitamos a practicar los conocimientos aprendidos en esta parte de la clase realizando los siguientes ejercicios.