3. Producto Punto
Definición: Si y son vectores en , entonces el producto punto de y está definido por
Ejemplo: Si y , entonces
Propiedades: Supongamos que , y son vectores en y sea un escalar. Entonces:
- .
- .
- si y sólo si
Nota: El producto punto solamente está definido para vectores con el mismo número de entradas.
El producto punto puede utilizarse para estudiar ciertas propiedades geométricas de los vectores. Algunas de estas propiedades se estudian a continuación.
Longitud:
Supongamos que es un vector en . La longitud o norma de se define como el número real denotado por que se define por La definición anterior puede ser escribir así:
Ejemplo: Supongamos que entonces .

En general, la ecuación que define la longitud de un vector se puede ver como una generalización del teorema de Pitágoras en altas dimensiones.
Propiedades: Sea en y sea un escalar. Entonces:
- si y sólo si
- .
Definición: Un vector de longitud se conoce como vector unitario .
Si es un vector no nulo, entonces es un vector unitario en la misma dirección de
Ejemplo: Dado , encuentre un vector unitario en la misma dirección de .
Solución: Un vector unitario en la dirección de es el vector
Ángulo:
Definición: Supongamos que y son dos vectores no nulos en . El ángulo que forman los vectores y es el único ángulo tal que

Ejemplo: Supongamos que y . Notemos que . Si denotamos por al ángulo entre y se tiene que . De aquí concluimos que , es decir, los vectores y son perpendiculares. Esto se puede ver en la siguiente figura.

La desigualdad de Cauchy-Schwarz: Para todo par de vectores y en se satisface la siguiente desigualdad: La desigualdad de Cauchy-Schwarz se puede deducir a partir de la definición del ángulo entre los vectores y . Para ver esto recordemos que para cualquier ángulo se tiene que . Por lo tanto y así obtenemos .
Desigualdad Triangular: Para todo par de vectores y en se tiene
Tarea: Deducir la desigualdad triangular.
Ejercicios de práctica
Te invitamos a practicar los conocimientos aprendidos en esta parte de la clase realizando los siguientes ejercicios.