3. Producto Punto

Definición: Si $u=\left[ \begin{array}{c} u_{1} \\u_{2}\\ \vdots \\ u_{n} \end{array} \right]$ y $v=\left[ \begin{array}{c} v_{1} \\v_{2}\\ \vdots \\ v_{n} \end{array} \right]$ son vectores en $\mathbb{R}^{n}$, entonces el producto punto de $u$ y $v$ está definido por \[ u\cdot v=u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+\cdots +u_{n}v_{n}. \]

Ejemplo: Si $u=\left[ \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right]$ y $v=\left[ \begin{array}{r} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right]$, entonces $u\cdot v=(1)(-1)+(2)(0)+(3)(2)=5. $

Propiedades: Supongamos que $u$, $v$ y $w$ son vectores en $\mathbb{R}^{n}$ y sea $c$ un escalar. Entonces:

1. $u\cdot v=v\cdot u.$
2. $u\cdot (v+w)=u\cdot v+u\cdot w.$
3. $(cu)\cdot v=c(u\cdot v)=u\cdot (cv)$.
4. $u\cdot u\geq 0$.
5. $u\cdot u=0$ si y sólo si $u=\overrightarrow{\mathbf{0}}.$

Nota: El producto punto solamente está definido para vectores con el mismo número de entradas.

El producto punto puede utilizarse para estudiar ciertas propiedades geométricas de los vectores. Algunas de estas propiedades se estudian a continuación.

Longitud:

Supongamos que $v=\left[ \begin{array}{c} v_{1} \\v_{2}\\ \vdots \\ v_{n} \end{array} \right]$ es un vector en $\mathbb{R}^{n}$. La longitud o norma de $v$ se define como el número real denotado por $\left\Vert v\right\Vert$ que se define por \[ \left\Vert v\right\Vert =\sqrt{v\cdot v}=\sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+\cdots +v_{n}^{2}}. \] La definición anterior puede ser escribir así: $ \left\Vert v\right\Vert ^{2}=v\cdot v.$

Ejemplo: Supongamos que $v=\left[ \begin{array}{r}3 \\ 4 \end{array} \right]$ entonces $\left\Vert v\right\Vert =\sqrt{v\cdot v}=\sqrt{9+16}=5$.

En general, la ecuación que define la longitud de un vector se puede ver como una generalización del teorema de Pitágoras en altas dimensiones.

Propiedades: Sea $v$ en $\mathbb{R}^{n}$ y sea $c$ un escalar. Entonces:

1. $\left\Vert v\right\Vert =0$ si y sólo si $v=\overrightarrow{ \mathbf{0}}.$
2. $\left\Vert cv\right\Vert =\left\vert c\right\vert \left\Vert v\right\Vert$.

Definición: Un vector de longitud $1$ se conoce como vector unitario .
Si $v$ es un vector no nulo, entonces $q=\dfrac{1}{ \left\Vert v\right\Vert }v$ es un vector unitario en la misma dirección de $v.$

Ejemplo: Dado $v=\left[ \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ -1 \\ 2 \end{array} \right]$, encuentre un vector unitario en la misma dirección de $v$.
Solución: Un vector unitario en la dirección de $v$ es el vector $q=\dfrac{1}{\left\Vert v\right\Vert }v=\dfrac{1 }{\sqrt{10}}\left[ \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ -1 \\ 2 \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} \sqrt{10}/10 \\ \sqrt{10}/5 \\ -\sqrt{10}/10 \\ \sqrt{10}/5 \end{array} \right].$

Ángulo:

Definición: Supongamos que $u$ y $v$ son dos vectores no nulos en $\mathbb{R}^{n}$. El ángulo que forman los vectores $u$ y $v$ es el único ángulo $0\le \theta\le \pi$ tal que \[ \cos (\theta )=\frac{(u\cdot v)}{\left\Vert u\right\Vert \left\Vert v\right\Vert }\text{.} \]

Ejemplo: Supongamos que $u=\left[ \begin{array}{r}1 \\3 \\ 0 \end{array} \right]$ y $v=\left[ \begin{array}{r}3 \\-1 \\ 5 \end{array} \right]$. Notemos que $u\cdot v=0$. Si denotamos por $\theta$ al ángulo entre $u$ y $v$ se tiene que $\cos (\theta )=\frac{0}{\left\Vert u\right\Vert \left\Vert v\right\Vert }=0 $. De aquí concluimos que $\theta=\pi/2$, es decir, los vectores $u$ y $v$ son perpendiculares. Esto se puede ver en la siguiente figura.

La desigualdad de Cauchy-Schwarz: Para todo par de vectores $u$ y $v$ en $\mathbb{R}^{n}$ se satisface la siguiente desigualdad: \[ \left\vert u\cdot v\right\vert \leq \left\Vert u\right\Vert \left\Vert v\right\Vert. \] La desigualdad de Cauchy-Schwarz se puede deducir a partir de la definición del ángulo entre los vectores $u$ y $v$. Para ver esto recordemos que para cualquier ángulo $\theta$ se tiene que $\left\vert \cos(\theta)\right\vert\le 1$. Por lo tanto $\frac{\left\vert u\cdot v\right\vert}{\left\Vert u\right\Vert \left\Vert v\right\Vert }\le 1$ y así obtenemos $\left\vert u\cdot v\right\vert \leq \left\Vert u\right\Vert \left\Vert v\right\Vert$.

Desigualdad Triangular: Para todo par de vectores $u$ y $v$ en $\mathbb{R}^{n}$ se tiene \[ \left\Vert u+v\right\Vert \leq \left\Vert u\right\Vert +\left\Vert v\right\Vert . \]

Tarea: Deducir la desigualdad triangular.

Ejercicios de práctica

Te invitamos a practicar los conocimientos aprendidos en esta parte de la clase realizando los siguientes ejercicios.