1. Matrices

Definición: Una matriz es un arreglo rectangular de números con $m$-filas y $n$-columnas de la forma \begin{equation*} A= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}, \end{equation*} donde $a_{11}, a_{12},\dots, a_{mn}$ son números reales llamados las entradas de la matriz. El número $a_{ij}$ es llamado la entrada $ij$ de la matriz. Nótese que la notación $a_{ij}$ nos indica que esta entrada se ubica en la fila $i$-ésima y columna $j$-ésima, en otras palabras, el primer índice nos indica el número de la fila correspondiente y el segundo índice el número de la columna correspondiente. Usualmente denotaremos a las matrices de la forma $A=\left[ a_{ij}\right] _{m\times n}$.

Ejemplo: Los siguientes son ejemplos de matrices

$A=\left[
\begin{array}{rrrrr}
-1 & 2 & 5 & 6 & 3 \\
2 & 0 & 4 & -1 & 7 \\
3 & 1 & 2 & -2 & 3
\end{array}
\right] ,\qquad B=
\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{bmatrix}
,\qquad C=\left[
\begin{array}{r}
-1 \\
0 \\
1 \\
0
\end{array}
\right] ,\qquad D=
\begin{bmatrix}
-1 & 1 & \sqrt{2} & \frac{3}{2} & 1
\end{bmatrix}.
$

Definición: Una matriz se denomina de tamaño $m\times n$ si tiene $m$ filas y $n$ columnas. El conjunto de todas las matrices de tamaño $m\times n$ se denota por $M_{m\times n}$. Este conjunto también es denotado por $\mathbb{R}^{m\times n}$.

Las matrices del ejemplo anterior son matrices de tamaños $3\times 5,$ $2\times 2,$ $4\times 1$ y $1\times 5,$ respectivamente.

Nota: Una matriz de tamaño $1\times m$ corresponde a un vector fila y una matriz de tamaño $n\times 1$ corresponde a un vector columna.

Nota:  Si las columnas de $A$ son los vectores $b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n},$ entonces podemos representar a $A$ por $ A=\left[
\begin{array}{c|c|c|c}
b_{1} & b_{2} & \cdots & b_{n}
\end{array}
\right] $ y si las filas de $A$ son los vectores $A_{1},A_{2},\ldots ,A_{m},$ entonces podemos representar a $A$ por $A=
\begin{bmatrix}
A_{1} \\
A_{2} \\
\vdots \\
A_{m}
\end{bmatrix}
.$

Definición: Sea $A=\left[ a_{ij}\right] _{m\times n}.$

1. Las entradas diagonales de $A$ son las entradas $a_{11},$ $a_{22},$ $a_{33},\ldots ,a_{kk},\ldots $
2. Si $m=n$, entonces $A$ se denomina matriz cuadrada de tamaño $n.$
3. Si $A$ es una matriz cuadrada y todas sus entradas no diagonales son cero, $A$ se denomina una matriz diagonal.
4. Una matriz diagonal en la cual todas las entradas diagonales sean todas iguales se conoce como una matriz escalar.
5. Si el escalar en la diagonal es $1,$ la matriz escalar se llama matriz identidad y es denotada por $I_{n}$.

Nota: Dos matrices son iguales si tienen el mismo tamaño y sus entradas correspondientes son iguales.

Operaciones Matriciales

Multiplicación por escalar

Supongamos que $A= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}$ es una matriz y $c$ es un escalar. Podemos multiplicar a la matriz $A$ por el escalar $c$ para obtener una matriz denotada por $cA$ que se define como \[ cA= \begin{bmatrix} ca_{11} & ca_{12} & \cdots & ca_{1n} \\ ca_{21} & ca_{22} & \cdots & ca_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ ca_{m1} & ca_{m2} & \cdots & ca_{mn} \end{bmatrix}. \] En otras palabras el producto de una matriz por un escalar se realiza componente a componente.

Ejemplo: Si $A= \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix},$ entonces $3A= \begin{bmatrix} 6 & 3 & 9 \\ 0 & -3 & 3 \end{bmatrix}.$

Adición de matrices

Supongamos que $A= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}$ y $B= \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn} \end{bmatrix}$ son dos matrices $m\times n$, su suma $A+B$ es la matriz $m\times n$ que se define como \[ A+B=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a_{11}+b_{11} &a_{12}+ b_{12} & \cdots & a_{1n}+b_{1n} \\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & \cdots & a_{2n}+b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1}+b_{m1} &a_{m2}+b_{m2} & \cdots &a_{mn}+b_{mn} \end{bmatrix}. \] En otras palabras la suma de matrices se realiza componente a componente.

Nota: Esta operación solamente está definida para matrices del mismo tamaño.

Ejemplo: Si $A= \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 4\\ 5 & 6 \end{bmatrix}$ y $B= \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -2 &1\\ 1 & 1 \end{bmatrix}$, entonces $A+B=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 5\\ 6 & 7 \end{bmatrix}$.

 
Propiedades de la suma de matrices y la multiplicación por escalares: Sean $A,B,C$ matrices del mismo tamaño y sean $c,d$ escalares. Entonces:

1. $A+B=B+A.$
2. $\left( A+B\right) +C=A+\left( B+C\right) .$
3. $A+O=O+A=A.$
4. $A+\left( -A\right) =O.$
5. $c\left( A+B\right) =cA+cB.$
6. $\left( c+d\right) A=cA+dA.$
7. $c(dA)=\left( cd\right) A.$
8. $1A=A.$

Ejercicios de práctica

Te invitamos a practicar los conocimientos aprendidos en esta parte de la clase realizando los siguientes ejercicios.