2. Multiplicación de matrices
Supongamos que AA es una matriz de tamaño m×nm×n y BB es una matriz de tamaño n×rn×r, entonces el producto matricial C=ABC=AB es una matriz de tamaño m×r,m×r, donde la entrada ijij de CC está dada por: cij=ai1b1j+ai2b2j+⋯+ainbnj.cij=ai1b1j+ai2b2j+⋯+ainbnj. Nota: Para que el producto de AA por BB tenga sentido se debe cumplir que el número de columnas de A sea igual al número de filas de B.
Si la ii-ésima fila de AA es [ai1ai2⋯ain][ai1ai2⋯ain] y la jj-ésima columna de BB es [b1jb2j⋮bnj],⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣b1jb2j⋮bnj⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦, entonces la entrada ijij de CC se computa como el producto punto de estos dos vectores (vistos como vectores columna) de la siguiente manera: cij=[ai1ai2⋮ain]⋅[b1jb2j⋮bnj]=ai1b1j+ai2b2j+⋯+ainbnj.cij=⎡⎢
⎢
⎢
⎢⎣ai1ai2⋮ain⎤⎥
⎥
⎥
⎥⎦⋅⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣b1jb2j⋮bnj⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦=ai1b1j+ai2b2j+⋯+ainbnj.
En la siguiente demostración tomada del proyecto de demostraciones de Wolfram se ilustra el producto de matrices. Multiplicación de matrices Para poder ver bien el archivo se debe instalar el programa Wolfram Player. Este programa se puede descargar de manera gratuita en el siguiente link: Wolfram Player. |
Ejemplo: Calcule, si es posible, ABAB y BABA.
- A=[111121]A=[111121], B=[21435−1] B=⎡⎢⎣21435−1⎤⎥⎦.
- A=[1−11201011111]A=⎡⎢⎣1−11201011111⎤⎥⎦, B=[11−110−1−11−110−1]. B=⎡⎢ ⎢ ⎢⎣11−110−1−11−110−1⎤⎥ ⎥ ⎥⎦.
Solución:
- Puesto que AA es de tamaño 2×32×3 y BB de tamaño 3×23×2, tanto el producto ABAB como el producto BABA están definidos. Calculemos estas matrices.
Recordemos que para calcular la entrada ijij de la matriz AB,AB, realizamos el producto punto de los vectores dados por la ii-ésima fila de AA y la jj-ésima columna de B.B. Luego, AB=[1⋅2+1⋅4+1⋅51⋅1+1⋅3+1⋅(−1)1⋅2+2⋅4+1⋅51⋅1+2⋅3+1⋅(−1)]=[2+4+51+3−12+8+51+6−1]=[113156].AB=⎡⎢⎣1⋅2+1⋅4+1⋅51⋅1+1⋅3+1⋅(−1)1⋅2+2⋅4+1⋅51⋅1+2⋅3+1⋅(−1)⎤⎥⎦=⎡⎢⎣2+4+51+3−12+8+51+6−1⎤⎥⎦=⎡⎢⎣113156⎤⎥⎦. Similarmente, BA=[2⋅1+1⋅12⋅1+1⋅22⋅1+1⋅14⋅1+3⋅14⋅1+3⋅24⋅1+3⋅15⋅1+(−1)⋅15⋅1+(−1)⋅25⋅1+(−1)⋅1]=[2+12+22+14+34+64+35−15−25−1]=[3437107434].BA=⎡⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣2⋅1+1⋅12⋅1+1⋅22⋅1+1⋅14⋅1+3⋅14⋅1+3⋅24⋅1+3⋅15⋅1+(−1)⋅15⋅1+(−1)⋅25⋅1+(−1)⋅1⎤⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦=⎡⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣2+12+22+14+34+64+35−15−25−1⎤⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦=⎡⎢⎣3437107434⎤⎥⎦. - Dado que AA es de tamaño 3×43×4 y BB de tamaño 4×34×3, ambos productos están definidos. Se puede verificar que AB=[12−320−222−4]yBA=[0−1020−201−21−2−20−201].AB=⎡⎢⎣12−320−222−4⎤⎥⎦yBA=⎡⎢ ⎢ ⎢⎣0−1020−201−21−2−20−201⎤⎥ ⎥ ⎥⎦.
Nota: En general, el producto de matrices no es conmutativo, es decir, si AA y BB son matrices tales que los productos ABAB y BABA están bien definidos, entonces la matriz ABAB no tiene que coincidir con la matriz BABA.
Propiedades del producto de matrices: Sean A,BA,B y CC matrices con tamaños tales que las siguientes operaciones son válidas y sea kk un escalar. Entonces
- A(BC)=(AB)C.A(BC)=(AB)C.
- A(B+C)=AB+AC.A(B+C)=AB+AC.
- (A+B)C=AC+BC.(A+B)C=AC+BC.
- k(AB)=(kA)B=A(kB).k(AB)=(kA)B=A(kB).
- ImA=A=AInImA=A=AIn, si AA es de tamaño m×n.m×n.
Teorema: Sean AA una matriz m×n,m×n, ei=[0⋯1⋯0]ei=[0⋯1⋯0] el ii-ésimo vector unitario estándar de tamaño 1×m1×m. (Todas las entradas de eiei son cero excepto por la entrada ii-ésima que es 11). Similarmente sea ejej el jj-ésimo vector unitario estándar de tamaño n×1.n×1. Entonces:
- eiA=ieiA=i-ésima fila de AA.
- Aej=jAej=j-ésima columna de A.A.
Potencias de una matriz:
Definición: Sea AA una matriz cuadrada n×n.n×n. Para k≥1,k≥1, definimos Ak=A⋅A⋅⋯⋅A⏟k factores(si k=0, definimos A0=In).Ak=A⋅A⋅⋯⋅Ak factores(si k=0, definimos A0=In). Proposición: Si AA es una matriz cuadrada y r,sr,s son enteros no negativos, entonces
- ArAs=Ar+s.ArAs=Ar+s.
- (Ar)s=Ars.(Ar)s=Ars.
Transpuesta de una matriz:
Definición: Sea AA una matriz de tamaño m×nm×n. La transpuesta de A,A, denotada por AT,AT, es la matriz de tamaño n×mn×m que se obtiene cuando se intercambian las filas y columnas de A.A. Es decir, la ii-ésima columna de ATAT es la ii-ésima fila de AA para todo i.i.
Ejemplo: Sea A=[12−130−2431235].A=⎡⎢⎣12−130−2431235⎤⎥⎦. Halle AT.AT.
Solución: Notemos que AA es de tamaño 3×4.3×4. Por tanto, AT=[1012−22−143335]AT=⎡⎢
⎢
⎢⎣1012−22−143335⎤⎥
⎥
⎥⎦ es de tamaño 4×34×3.
Definición: Sea AA una matriz cuadrada.
- AA se dice simétrica si AT=AAT=A, o equivalentemente, si aij=ajiaij=aji, para todo i,ji,j.
- AA se dice antisimétrica si AT=−A.AT=−A.
Ejemplo: Determine si la matriz es simétrica o antisimétrica.
- A=[1−11101−1−11]A=⎡⎢⎣1−11101−1−11⎤⎥⎦,
- B=[0−1−21032−30],B=⎡⎢⎣0−1−21032−30⎤⎥⎦,
- C=[012103230].
Solución: Calculemos la transpuesta para cada una de las matrices anteriores. AT=[11−1−10−1111],BT=[012−10−3−230]yCT=[012103230]. Notemos que AT≠A; por lo tanto, A no es simétrica y puesto que AT≠−A, A tampoco es antisimétrica. Por otro lado, BT=−B; luego, B es antisimétrica. Finalmente, se cumple que CT=C; por lo tanto, C es simétrica.
Nota: Si A es antisimétrica, entonces las entradas en su diagonal son todas ceros.
Propiedades de la transpuesta: Sean A,B matrices con tamaños tales que las siguientes operaciones son válidas y k escalar. Entonces
- (AT)T=A.
- (A+B)T=AT+BT.
- (kA)T=kAT.
- (AB)T=BTAT.
- (Ar)T=(AT)r, para todo entero r no negativo
Ejercicios de práctica
Te invitamos a practicar los conocimientos aprendidos en esta parte de la clase realizando los siguientes ejercicios.