2. Multiplicación de matrices

Supongamos que $A$ es una matriz de tamaño $m\times n$ y $B$ es una matriz de tamaño $n\times r$, entonces el producto matricial $C=AB$ es una matriz de tamaño $m\times r,$ donde la entrada $ij$ de $C$ está dada por: $$\begin{equation*} c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots +a_{in}b_{nj}. \end{equation*}$$ Nota: Para que el producto de $A$ por $B$ tenga sentido se debe cumplir que el número de columnas de A sea igual al número de filas de B.
Si la $i$-ésima fila de $A$ es $\begin{bmatrix} a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \end{bmatrix}$ y la $j$-ésima columna de $B$ es $\begin{bmatrix} b_{1j} \\ b_{2j} \\ \vdots \\ b_{nj} \end{bmatrix},$ entonces la entrada $ij$ de $C$ se computa como el producto punto de estos dos vectores (vistos como vectores columna) de la siguiente manera: $$\begin{equation*} c_{ij}= \begin{bmatrix} a_{i1} \\ a_{i2} \\ \vdots \\ a_{in} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} b_{1j} \\ b_{2j} \\ \vdots \\ b_{nj} \end{bmatrix} =a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots +a_{in}b_{nj}. \end{equation*}$$

En la siguiente demostración tomada del proyecto de demostraciones de Wolfram se ilustra el producto de matrices. Multiplicación de matrices Para poder ver bien el archivo se debe instalar el programa Wolfram Player. Este programa se puede descargar de manera gratuita en el siguiente link: Wolfram Player.

Ejemplo: Calcule, si es posible, $AB$ y $BA$.

1. $A=\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{array} \right]$, $\ B=\left[ \begin{array}{rr} 2 & 1 \\ 4 & 3 \\ 5 & -1 \end{array} \right]$.
2. $A=\left[ \begin{array}{rrrr} 1 & -1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{array} \right]$, $\ B=\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \end{array} \right] .$

Solución:

1. Puesto que $A$ es de tamaño $2\times 3$ y $B$ de tamaño $3\times 2$, tanto el producto $AB$ como el producto $BA$ están definidos. Calculemos estas matrices.
   Recordemos que para calcular la entrada $ij$ de la matriz $AB,$ realizamos el producto punto de los vectores dados por la $i$-ésima fila de $A$ y la $j$-ésima columna de $B.$ Luego, $$\begin{equation*} AB=\left[ \begin{array}{ccc} 1\cdot 2+1\cdot 4+1\cdot 5 & & 1\cdot 1+1\cdot 3+1\cdot \left( -1\right) \\ & & \\ 1\cdot 2+2\cdot 4+1\cdot 5 & & 1\cdot 1+2\cdot 3+1\cdot \left( -1\right) \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{ccc} 2+4+5 & & 1+3-1 \\ & & \\ 2+8+5 & & 1+6-1 \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{ccc} 11 & & 3 \\ & & \\ 15 & & 6 \end{array} \right]. \end{equation*}$$ Similarmente, $$\begin{equation*} BA=\left[ \begin{array}{ccccc} 2\cdot 1+1\cdot 1 & & 2\cdot 1+1\cdot 2 & & 2\cdot 1+1\cdot 1 \\ & & & & \\ 4\cdot 1+3\cdot 1 & & 4\cdot 1+3\cdot 2 & & 4\cdot 1+3\cdot 1 \\ & & & & \\ 5\cdot 1+\left( -1\right) \cdot 1 & & 5\cdot 1+\left( -1\right) \cdot 2 & & 5\cdot 1+\left( -1\right) \cdot 1 \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{ccccc} 2+1 & & 2+2 & & 2+1 \\ & & & & \\ 4+3 & & 4+6 & & 4+3 \\ & & & & \\ 5-1 & & 5-2 & & 5-1 \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{ccc} 3 & 4 & 3 \\ 7 & 10 & 7 \\ 4 & 3 & 4 \end{array} \right]. \end{equation*}$$
2. Dado que $A$ es de tamaño $3\times 4$ y $B$ de tamaño $4\times 3$, ambos productos están definidos. Se puede verificar que $$\begin{equation*} AB=\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & -3 \\ 2 & 0 & -2 \\ 2 & 2 & -4 \end{array} \right] \qquad \text{y}\qquad BA=\left[ \begin{array}{rrrr} 0 & -1 & 0 & 2 \\ 0 & -2 & 0 & 1 \\ -2 & 1 & -2 & -2 \\ 0 & -2 & 0 & 1 \end{array} \right]. \end{equation*}$$

Nota: En general, el producto de matrices no es conmutativo, es decir, si $A$ y $B$ son matrices tales que los productos $AB$ y $BA$ están bien definidos, entonces la matriz $AB$ no tiene que coincidir con la matriz $BA$.

Propiedades del producto de matrices: Sean $A,B$ y $C$ matrices con tamaños tales que las siguientes operaciones son válidas y sea $k$ un escalar. Entonces

1. $A\left( BC\right) =\left( AB\right) C.$
2. $A\left( B+C\right) =AB+AC.$
3. $\left( A+B\right) C=AC+BC.$
4. $k\left( AB\right) =\left( kA\right) B=A\left( kB\right) .$
5. $I_{m}A=A=AI_{n}$, si $A$ es de tamaño $m\times n.$

Teorema: Sean $A$ una matriz $m\times n,$ $e_{i}=\begin{bmatrix}0 & \cdots & 1& \cdots & 0 \end{bmatrix}$ el $i$-ésimo  vector unitario estándar de tamaño $1\times m$. (Todas las entradas de $e_{i}$ son cero excepto por la entrada $i$-ésima que es $1$). Similarmente sea $e_{j}$ el $j$-ésimo vector unitario estándar de tamaño $n\times 1.$ Entonces:

1. $e_{i}A= i$-ésima fila de $A$.
2. $Ae_{j}=j$-ésima columna de $A.$

Potencias de una matriz:

Definición: Sea $A$ una matriz cuadrada $n\times n.$ Para $k\geq 1,$ definimos $$\begin{equation*} A^{k}=\underset{k\text{ factores}}{\underbrace{A\cdot A\cdot \cdots \cdot A}} \qquad \qquad (\text{si }k=0,\text{ definimos }A^{0}=I_{n}). \end{equation*}$$ Proposición: Si $A$ es una matriz cuadrada y $r,s$ son enteros no negativos, entonces

1. $A^{r}A^{s}=A^{r+s}.$
2. $\left( A^{r}\right) ^{s}=A^{rs}.$

Transpuesta de una matriz:

Definición: Sea $A$ una matriz de tamaño $m\times n$. La transpuesta de $A,$ denotada por $A^{T},$ es la matriz de tamaño $n\times m$ que se obtiene cuando se intercambian las filas y columnas de $A.$ Es decir, la $i$-ésima columna de $A^{T}$ es la $i$-ésima fila de $A$ para todo $i.$

Ejemplo: Sea $A=\left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 0 & -2 & 4 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 5 \end{array} \right] .$ Halle $A^{T}.$

Solución: Notemos que $A$ es de tamaño $3\times 4.$ Por tanto, $A^{T}=\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 1 \\ 2 & -2 & 2 \\ -1 & 4 & 3 \\ 3 & 3 & 5 \end{array} \right]$ es de tamaño $4\times 3$.

Definición: Sea $A$ una matriz cuadrada.

1. $A$ se dice simétrica si $A^{T}=A$, o equivalentemente, si $a_{ij}=a_{ji}$, para todo $i,j$.
2. $A$ se dice antisimétrica si $A^{T}=-A.$

Ejemplo: Determine si la matriz es simétrica o antisimétrica.

• $A=\left[ \begin{array}{rrr} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & 1 \end{array} \right]$,
• $B=\left[ \begin{array}{rrr} 0 & -1 & -2 \\ 1 & 0 & 3 \\ 2 & -3 & 0 \end{array} \right],$
• $C=\left[ \begin{array}{rrr} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 3 \\ 2 & 3 & 0 \end{array} \right].$

Solución: Calculemos la transpuesta para cada una de las matrices anteriores. $$\begin{equation*} A^{T}=\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right] ,\qquad B^{T}=\left[ \begin{array}{rrr} 0 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & -3 \\ -2 & 3 & 0 \end{array} \right] \qquad \text{y}\qquad C^{T}=\left[ \begin{array}{rrr} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 3 \\ 2 & 3 & 0 \end{array} \right]. \end{equation*}$$ Notemos que $A^{T}\neq A;$ por lo tanto, $A$ no es simétrica y puesto que $A^{T}\neq -A,$ $A$ tampoco es antisimétrica. Por otro lado, $B^{T}=-B;$ luego, $B$ es antisimétrica. Finalmente, se cumple que $C^{T}=C;$ por lo tanto, $C$ es simétrica.

Nota: Si $A$ es antisimétrica, entonces las entradas en su diagonal son todas ceros.

Propiedades de la transpuesta: Sean $A,B$ matrices con tamaños tales que las siguientes operaciones son válidas y $k$ escalar. Entonces

1. $(A^{T})^{T}=A.$
2. $\left( A+B\right)^{T}=A^{T}+B^{T}.$
3. $\left( kA\right) ^{T}=kA^{T}.$
4. $\left( AB\right) ^{T}=B^{T}A^{T}.$
5. $\left( A^{r}\right) ^{T}=\left( A^{T}\right) ^{r},$ para todo entero $r$ no negativo

Ejercicios de práctica

Te invitamos a practicar los conocimientos aprendidos en esta parte de la clase realizando los siguientes ejercicios.