1. Proyecciones

Supongamos que $u$ y $v$ son vectores distintos de cero que no son paralelos como se muestra en la siguiente figura:

Sea $p$ el vector obtenido al trazar una perpendicular del punto final de $v$ sobre $u$. Notemos que $p$ es paralelo a $u$ y por lo tanto $p=\lambda u$, para algún escalar $\lambda$. Si consideramos el vector $q=v-\lambda u,$ entonces $q$ es ortogonal a $u$. Luego, $q\cdot u=0$. Así $(v-\lambda u)\cdot u=0$ lo que implica que $u\cdot v-\lambda \left\Vert u\right\Vert ^{2}=0$, es decir, $\lambda =\dfrac{ u\cdot v}{\left\Vert u\right\Vert ^{2}}$. Por consiguiente, \[ p=\dfrac{u\cdot v}{\left\Vert u\right\Vert ^{2}}\;u\text{.} \]

Definición: Dados los vectores $u$ y $v$ en $\mathbb{R}^{n}$ con $u$ no nulo, definimos la proyección de $v$ sobre $u$, denotada por $\mathrm{proy}_{u}\left( v\right) $, como \[ \mathrm{proy}_{u}\left( v\right) =\dfrac{u\cdot v}{\left\Vert u\right\Vert ^{2}}\;u=\dfrac{u\cdot v}{u\cdot u^{{}}}\;u. \]

Ejemplo: Sean $u=\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1\end{array} \right] $ y $v=\left[ \begin{array}{r} 1 \\ -1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right]$. Encontrar $\mathrm{proy}_{u}\left( v\right)$ y $ \mathrm{proy}_{v}\left( u\right)$.

Solución: \[ \mathrm{proy}_{u}\left( v\right) =\dfrac{u\cdot v}{\left\Vert u\right\Vert ^{2}}\;u =\dfrac{2}{4}\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right] =\dfrac{1}{2}\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right] \qquad \text{y}\qquad \mathrm{proy}_{v}\left( u\right) =\dfrac{ v\cdot u}{\left\Vert v\right\Vert ^{2}}\;v=\dfrac{2}{4} \left[ \begin{array}{r} 1 \\ -1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right] = \dfrac{1}{2}\left[ \begin{array}{r} 1 \\ -1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right]. \]

En la siguiente ilustración tomada del proyecto de demostraciones de Wolfram, puedes explorar geométricamente la proyección de vectores en el plano cartesioano. Proyección de vectores en 2D. Para poder ver bien el archivo se debe instalar el programa Wolfram Player. Este programa se puede descargar de manera gratuita en el siguiente link: Wolfram Player.

Ejercicios de práctica

Te invitamos a practicar los conocimientos aprendidos en esta parte de la clase realizando los siguientes ejercicios.