2. Sistemas de Ecuaciones Lineales

Definición: Una ecuación lineal en las $n$ variables $ x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ es una ecuación de la forma \[ a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}=b, \] donde los coeficientes $a_{1},\ldots ,a_{n}$ y el término constante $b$ son constantes reales.

Ejemplo: Las siguientes ecuaciones son lineales

• $3x+2y+z=1$,
• $\tan (\pi )x-5y=\cos (\dfrac{\pi }{2})$,

mientras que las ecuaciones

• $3xy+z+w=2$,
• $3\tan(x)+w=0$

no son lineales.
Definición: Una solución de una ecuación lineal $ a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}=b$ es un vector $v=\left[ \begin{array}{c} v_{1} \\ \vdots \\ v_{n} \end{array} \right]$ cuyas entradas satisfacen la ecuación cuando se sustituye $ x_{1}=v_{1},x_{2}=v_{2},\ldots ,x_{n}=v_{n},$ es decir, si la ecuación $ a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}+\cdots +a_{n}v_{n}=b$ se cumple.

Nota: Geométricamente el conjunto de soluciones de una ecuación lineal en $2$ variables es una linea recta en el plano cartesiano, el conjunto de soluciones de una ecuación lineal en $3$ variables es un plano en $\mathbb{R}^{3}$ y en general el conjunto de soluciones de una ecuación lineal en $n$-variables es un subconjunto lineal de $\mathbb{R}^{n}$ de dimensión $(n-1)$ que es llamado un hiperplano.

Definición: Un sistema de ecuaciones lineales o sistema lineal de $m$ ecuaciones con $n$ variables es un conjunto de ecuaciones de la forma \[ \begin{align} a_{11}x_{1}+ a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n} &= b_{1}, \\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n} &=b_{2}, \\ &\vdots \\ a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n} &=b_{m}, \end{align} \] donde los coeficientes $a_{ij}$ para $ i=1,\ldots ,m, j=1,2,\ldots ,n$ y los coeficientes $b_{1},\ldots ,b_{m}$ son constantes reales. Una solución de un sistema de ecuaciones lineales es un vector que es simultáneamente una solución de cada ecuación del sistema. El conjunto solución de un sistema lineal es el conjunto de todas las soluciones del sistema.

Se entenderá por resolver el sistema a encontrar el conjunto solución de éste. Un sistema lineal puede tener una solución única o tener infinitas soluciones o no tener solución. En los dos primeros casos, diremos que el sistema es consistente. Si el sistema no tiene soluciones, se dice que inconsistente.

Nota: Geométricamente el conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales corresponde a la intersección de las soluciones de cada una de las ecuaciones lineales en el sistema. Esto se ilustra en el siguiente video.

Ejercicios de práctica

Te invitamos a practicar los conocimientos aprendidos en esta parte de la clase realizando los siguientes ejercicios.