3. Matriz de coeficientes y matriz aumentada

Nuestro siguiente objetivo es diseñar un algoritmo para resolver sistemas de ecuaciones lineales, para ello vamos a asignar matrices a los sistemas de ecuaciones lineales como se explica a continuación.

Definición: A todo sistema lineal \[ \begin{align} a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=b_{1} \\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=b_{2} \\ &\vdots \\ a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=b_{m} \end{align} \] le asociaremos dos matrices de la siguiente manera:
\[ \begin{align} \text{Matriz de coeficientes:}& \ \ \ \ \left[ \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{array} \right], \\ \text{Matriz de aumentada:}& \ \ \ \ \left[ \begin{array}{llll|l} a_{11} &a_{12} &\cdots & a_{1n} & b_{1} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_{2} \\ \vdots &\vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & b_{m} \end{array} \right]. \end{align} \] Denotaremos los sistemas lineales por $\left[ A\mid b\right]$, donde $A$ denota la matriz de coeficientes y $b$ es el vector de coeficientes constantes.

Teorema: Todo sistema lineal de $m$ ecuaciones con $n$ incógnitas se puede representar en la forma $AX=b$, donde $A$ es la matriz de coeficientes$,$ $X$ es el vector que contiene las variables del sistema y $b$ es el vector de términos independientes.

Ejemplo: Exprese el siguiente sistema lineal en la forma $AX=b$ \begin{equation} \begin{array}{rrrrrrrrr} 3x & + & 2y & - & 3z & + & 5w & = & 2 \\ x & + & y & + & z & + & w & = & -1 \\ 5x & + & 2y & - & z & + & w & = & 6. \end{array} \end{equation}

Solución: Notemos que \begin{equation*} A=\left[ \begin{array}{rrrr} 3 & 2 & -3 & 5 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 5 & 2 & -1 & 1 \end{array} \right] ,\qquad X=\left[ \begin{array}{r} x \\ y \\ z \\ w \end{array} \right] \qquad \text{y}\qquad b=\left[ \begin{array}{r} 2 \\ -1 \\ 6 \end{array} \right]. \end{equation*} Luego, el sistema de ecuaciones lineales anterior se puede representar como $AX=b$; es decir, $\left[ \begin{array}{rrrr} 3 & 2 & -3 & 5 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 5 & 2 & -1 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{r} x \\ y \\ z \\ w \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{r} 2 \\ -1 \\ 6 \end{array} \right].$

Operaciones Elementales de Fila

Definición: En cualquier matriz se pueden efectuar las siguientes operaciones, llamadas operaciones elementales de fila:

1. Intercambiar las filas $i$ y $j$, esta operación se denota por $ R_{i}\leftrightarrow R_{j}$.
2. Multiplicar la fila $i$ por $k\neq 0$, esta operación se denota por $kR_{i}$.
3. Sumarle $k$ veces la fila $i$ a la fila $j$, esta operación se denota por $ R_{j}+kR_{i}$.

Ejemplo:
\begin{equation*} A=\left[ \begin{array}{cccc} 0 & 1 & 1 & 4 \\ 1 & 0 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \end{array}\right] \overset{R_{1}\leftrightarrow R_{2}}{\rightarrow }\left[ \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 4 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \end{array}\right] \overset{R_{3}-R_{1}}{\rightarrow }\left[ \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & -3 \end{array} \right]. \end{equation*} La importancia de las operaciones elementales es que el conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales no cambia al aplicar cualquier operación elemental. Por lo tanto estas operaciones se pueden utilizar para simplificar un sistema de ecuaciones dado. La forma más fácil a la que podemos llevar la matriz aumentada asociada a un sistema de ecuaciones es una forma escalonada como se define a continuación.

Definición: Una matriz se encuentra en forma escalonada si satisface las siguientes condiciones

1. Las filas de ceros se ubican en la parte inferior.
2. En cada fila no nula, la primera entrada distinta de cero denominada entrada principal se encuentra en una columna a la izquierda de cualquier entrada distinta de cero debajo de ella.

Notemos que, en una matriz escalonada, todas las entradas por debajo de una entrada principal son iguales a cero.


Ejemplo: Consideremos las siguientes matrices: \begin{equation*} A=\left[ \begin{array}{rrrr} 3 & 0 & 8 & -1 \\ 0 & 0 & 2 & 16 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right], \qquad B=\left[ \begin{array}{rrrr} -2 & 1 & 5 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right], \qquad C=\left[ \begin{array}{cccc} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{array} \right] \qquad \text{y}\qquad D=\left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 4 & 8 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -3 & 6 \end{array} \right]. \end{equation*} Las matrices $A$ y $D$ están en forma escalonada, mientras que $B$ y $C$ no lo están ¿Por qué?.

Los sistemas de ecuaciones lineales cuyas matrices aumentadas están en forma escalonada se pueden resolver de manera sencilla utilizando un método llamado sustitución regresiva. Este método se explica en el siguiente ejemplo.

Ejemplo: Resuelva el siguiente sistema \begin{equation*} \begin{array}{ccccccc} 5x_{1} & + & 3x_{2} & + & x_{3} & = & 2 \\ & - & x_{2} & + & x_{3} & = & 1 \\ & & & & x_{3} & = & 1 .\end{array} \end{equation*}

Solución: La matriz aumentada asociada al sistema es: \begin{equation*} \left[ \begin{array}{rrr|r} 5 & 3 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array} \right]. \end{equation*} Notemos que esta matriz está en forma escalonada. De la última ecuación obtenemos que $x_{3}=1$. Reemplazando esto en la segunda ecuación y resolviendo se obtiene $x_{2}=0$. Finalmente, reemplazando estos dos valores en la primera ecuación obtenemos $x_{1}=\frac{1}{5}$, es decir, \begin{equation*} x_{3}=1,\qquad x_{2}=0\qquad \text{y}\qquad x_{1}=\frac{1}{5}. \end{equation*} Concluimos que el sistema inicial tiene una única solución dada por $\left[ \begin{array}{c} \frac{1}{5}\\ 0 \\ 1 \end{array} \right].$

Ejercicios de práctica

Te invitamos a practicar los conocimientos aprendidos en esta parte de la clase realizando los siguientes ejercicios.