1. Eliminación Gaussiana

Rercordemos que en cualquier matriz se pueden efectuar las siguientes operaciones, llamadas operaciones elementales de fila:

1. Intercambiar las filas $i$ y $j$, esta operación se denota por $ R_{i}\leftrightarrow R_{j}$.
2. Multiplicar la fila $i$ por un número $k\neq 0$, esta operación se denota por $kR_{i}$.
3. Sumarle $k$ veces la fila $j$ a la fila $i$, esta operación se denota por $ R_{i}+kR_{j}$.

Las operaciones elementales son importantes por que ellas no cambian el conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, en otras palabras, al efectuar un número finito de operaciones elementales a la matriz aumentada asociada a un sistema de ecuaciones lineales, las soluciones del sistema obtenido son las mismas soluciones del sistema original. La idea detrás del método de eliminación Gaussiana es precisamente utilizar las operaciones elementales hasta llevar un sistema de ecuaciones a una forma escalonada.

Eliminación Gaussiana

Para resolver un sistema de ecuaciones podemos seguir los siguientes pasos:

1. Escriba la matriz aumentada del sistema de ecuaciones lineales.
2. Use operaciones elementales de fila para llevar la matriz aumentada a una forma escalonada.
3. Mediante sustitución regresiva, resuelva el sistema equivalente correspondiente a la matriz aumentada escalonada.

Ejemplo: Resolver el sistema de ecuaciones lineales \begin{equation*} \begin{array}{rrrr} x & +2y& +z &=0 \\ x & &+z &=2 \\ & y & +2z &=1. \end{array} \end{equation*}

Solución: La matriz aumentada asociada al sistema es $ \left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \end{array} \right] $. Utilizando Eliminación Gaussiana obtenemos lo siguiente \begin{equation} \left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \end{array} \right] \stackrel{R_{2}-R_{1}}{\longrightarrow } \left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \end{array} \right] \stackrel{-\left(\frac{1}{2}\right)R_{2}}{\longrightarrow } \left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \end{array} \right] \stackrel{R_{3}-R_{2}}{\longrightarrow } \left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 2 & 2 \end{array} \right]. \end{equation} De la tercera fila se obtiene $2z=2$, es decir, $z=1$. De la segunda fila obtenemos $y=-1$. Finalmente, de la primera fila se obtiene $x+2y+z=0$, es decir, $x=1$. Concluimos que la solución del sistema de ecuaciones es \begin{align*} x&=1\\ y&=-1\\ z&=1. \end{align*} De manera vectorial esta solución se puede escribir de la forma \[ \left[ \begin{array}{r} x \\ y \\ z \end{array} \right]= \left[ \begin{array}{r} 1\\ -1 \\ 1 \end{array} \right]. \] En particular el sistema tiene solución única.

Ejemplo: Resolver el sistema de ecuaciones \begin{equation} \begin{array}{rrrrrrrrr} 2x & + & y & - & z & + & 3w & = & 5 \\ 4x & + & y & + & z & + & w & = & 1 \\ 6x & + & 2y & & & + & 4w & = & 1. \end{array} \end{equation}

Solución: La matriz aumentada asociada al sistema es $ \left[ \begin{array}{rrrr|r} 2 & 1 & -1 & 3 & 5 \\ 4 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 6 & 2 & 0 & 4 & 1 \end{array} \right] $. Utilizando Eliminación Gaussiana obtenemos lo siguiente \begin{equation} \left[ \begin{array}{rrrr|r} 2 & 1 & -1 & 3 & 5 \\ 4 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 6 & 2 & 0 & 4 & 1 \end{array} \right] \stackrel{R_{2}-2R_{1}, R_{3}-3R_{1}}{\longrightarrow } \left[ \begin{array}{rrrr|r} 2 & 1 & -1 & 3 & 5 \\ 0 & -1 & 3 & -5 & -9 \\ 0 & -1 & 3 & -5 & -14 \end{array} \right] \stackrel{R_{3}-R_{2}}{\longrightarrow } \left[ \begin{array}{rrrr|r} 2 & 1 & -1 & 3 & 5 \\ 0 & -1 & 3 & -5 & -9 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -5\end{array} \right]. \end{equation} De la última fila obtenemos la ecuación $0x+0y+0z+0z=-5$, es decir, $0=5$ lo cual es una contradicción. Esto nos indica que el sistema de ecuaciones no tiene solución.

Definición: Decimos que un sistema de ecuaciones lineales es consistente si tiene al menos una solución. Por otro lado, si el sistema no tiene soluciones decimos que el sistema es inconsistente.

Como vimos en el ejemplo anterior, el sistema de ecuaciones considerado allí es inconsistente. En general, podemos determinar si un sistema de ecuaciones es inconsistente utilizando el siguiente teorema.

Teorema: Un sistema de ecuaciones lineales es consistente si y sólo si cualquier forma escalonada de la matriz aumentada asociada al sistema no tiene filas de la forma: \begin{equation*} \left[ \begin{array}{llll|l} 0 & 0 & \cdots & 0 & c \end{array} \right] , \qquad \text{con }c\neq 0. \end{equation*}
Definición: Supongamos que tenemos un sistema de ecuaciones lineales cuya matriz aumentada asociada es $\left[ A\mid b\right] $ y su pongamos que $\left[ U\mid c\right] $ es una forma escalonada de esta matriz. Clasificaremos las variables de este sistema en dos grupos:

1. Variables principales o variables pivote: son aquellas variables cuyas columnas correspondientes tienen pivotes.
2. Variables libres: son aquellas variables que no corresponden a pivotes.

Recordemos que en un sistema de ecuaciones lineales solamente tenemos tres opciones para sus soluciones. El sistema puede tener una solución única o tener infinitas soluciones o no tener solución.
La naturaleza de las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales consistente está determinada por el número de variables libres como se ilustra en el siguiente teorema.

Teorema: Un sistema lineal consistente tiene infinitas soluciones si tiene variables libres y tiene solución única si no tiene variables libres.

Ejemplo: Resuelva el sistema \begin{equation} \begin{array}{rrrrrrrrr} x & + & y & + & z & + & w & = & 2 \\ 2x & + & y & + & z & + & w & = & 1 \\ x & + & y & + & 2z & + & 2w & = & 1 . \end{array} \end{equation} ¿Cuántas soluciones tiene el sistema?

Solución: Aplicando Eliminación Gaussiana a la matriz aumentada asociada al sistema se obtiene: \begin{equation*} \left[ \begin{array}{rrrr|r} 1 & 1 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 2 & 1 \end{array} \right] \stackrel{R_{2}-2R_{1},R_{3}-R_{1}}{\longrightarrow} \left[ \begin{array}{rrrr|r} 1 & 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & -1 & -1 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & -1 \end{array} \right]. \end{equation*} Por tanto, el sistema dado es equivalente al sistema \begin{equation*} \begin{array}{rrrrrrrrr} x & + & y & + & z & + & w & = & 2 \\ & & y & + & z & + & w & = & 3 \\ & & & & z & + & w & = & -1 . \end{array} \end{equation*} En este caso tenemos una variable libre que es la variable $w$ y el sistema es consistente, esto nos permite concluir que el sistema tiene infinitas soluciones.

En la siguiente ilustración tomada del proyecto de demostraciones de Wolfram, puedes explorar geométricamente la proyección de vectores en el plano cartesioano. Solución de sistemas de ecuaciones y eliminación Gaussiana. Para poder ver bien el archivo se debe instalar el programa Wolfram Player. Este programa se puede descargar de manera gratuita en el siguiente link: Wolfram Player.

Ejercicios de práctica

Te invitamos a practicar los conocimientos aprendidos en esta parte de la clase realizando los siguientes ejercicios.