2. Teorema del Rango

Definición: El rango de una matriz, denotado por Rango(A), se define como el número de filas distintas de cero en cualquiera de sus formas escalonadas. De manera equivalente se puede calcular como el número de pivotes en una forma escalonada.

Teorema del Rango: Sea $A$ la matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales con $n$ variables. Si el sistema es consistente, entonces \[ \#\left( \text{variables libres}\right)= n-\text{Rango}(A). \] Recordemos que un sistema de ecuaciones lineales solamente tenemos las siguientes tres opciones para las soluciones:

1. El sistema de ecuaciones no tiene solución, es decir, el sistema es inconsistente.
2. El sistema de ecuaciones tiene solución única.
3. El sistema de ecuaciones tiene infinitas soluciones.

El teorema del rango nos ayuda a determinar que tipo de soluciones tiene un sistema de ecuaciones consistente. En efecto, si tenemos un sistema de ecuaciones lineales consistente, entonces tenemos lo siguiente:

• Un sistema de ecuaciones lineales consistente tiene solución única cuando $n=\text{Rango}(A)$. Esto se debe a que en este caso $\#\left( \text{variables libres}\right) =0$
• Un sistema de ecuaciones lineales consistente tiene infinitas soluciones cuando $n>\text{Rango}(A)$, es decir, un sistema de ecuaciones lineales consistente tiene infinitas soluciones cuando tenemos variables libres
  

Ejercicios de práctica

Te invitamos a practicar los conocimientos aprendidos en esta parte de la clase realizando los siguientes ejercicios.