1. Eliminación de Gauss-Jordan

Existe una variante del metodo de eliminación Gaussiana para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Para explicar esta variante necesitamos la siguiente definición.

Definición: Una matriz se encuentra en forma escalonada reducida si satisface las siguientes condiciones

1. La matriz está en forma escalonada.
2. El pivote o entrada principal de cada fila diferente de cero es igual a $1$.
3. Cada columna que contiene un $1$ como pivote tiene ceros en cualquier otro sitio.

Ejemplo:

1. Las matrices $\left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 10 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array} \right],$ $\left[ \begin{array}{rrrr} 1 & -2 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right]$ y $\left[ \begin{array}{rrrrrr} 0 & 1 & 0 & 8 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & 4 & 0 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right]$ están en forma escalonada reducida.
2. Las matrices $\left[ \begin{array}{rrrr} 1 & -1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 6 \end{array} \right],$ $\left[ \begin{array}{rrrr} 1 & -1 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array} \right]$ y $\left[ \begin{array}{rrrrrr} 0 & 1 & 0 & 2 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 3 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right]$ no están en forma escalonada reducida.

Nota: Después que una matriz ha sido transformada a una forma escalonada, operaciones elementales de fila adecuadas la llevarán a su forma escalonada reducida. Adicioanlemente notamos que una matriz puede llevarse a distintas formas escalonadas, sin embargo la forma escalonada reducida de una matriz es única.

Eliminación de Gauss-Jordan

1. Escriba la matriz aumentada del sistema lineal.
2. Use operaciones elementales para reducir la matriz aumentada a la forma escalonada reducida.
3. Si el sistema resultante es consistente, resuelva para las variables principales en términos de las variables libres restantes.

Ejemplo: Encuentre el conjunto solución del sistema lineal $$\begin{equation*} \begin{array}{rrrrrrr} x & + & y & + & z & = & -3 \\ x & + & 2y & + & z & = & -5 \\ -x & - & y & + & z & = & 13 .\end{array} \end{equation*}$$

Solución: Apliquemos el método de Gauss-Jordan: $$\begin{equation} \left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 1 & -3 \\ 1 & 2 & 1 & -5 \\ -1 & -1 & 1 & 13 \end{array} \right] \stackrel{R_{2}-R_{1},R_{3}+R_{1}}{\longrightarrow} \left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 1 & -3 \\ 0 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 2 & 10 \end{array} \right] \stackrel{(1/2)R_{3}}{\longrightarrow} \left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 1 & -3 \\ 0 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 5 \end{array} \right] \stackrel{R_{1}-R_{3}}{\longrightarrow} \left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 0 & -8 \\ 0 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 5 \end{array} \right] \end{equation}$$ $$\begin{equation} \stackrel{R_{1}-R_{2}}{\longrightarrow} \left[ \begin{array}{rrr|r}1 & 0 & 0 & -6 \\ 0 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 5 \end{array} \right]. \end{equation}$$ Luego, la única solución del sistema es $x=-6,$ $y=-2$ y $z=5$ (notemos que no hay variables libres).

Ejercicios de práctica

Te invitamos a practicar los conocimientos aprendidos en esta parte de la clase realizando los siguientes ejercicios.