2. Sistemas Homogéneos

Definición: Un sistema de ecuaciones lineales se denomina homogéneo si el término constante de cada ecuación del sistema es cero. En otras palabras, un sistema de ecuaciones lineales es homogéneo si es de la forma \[ \begin{align} a_{11}x_{1}+ a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n} &= 0, \\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n} &=0, \\ \vdots& \\ a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n} &=0, \end{align} \] donde los coeficientes $a_{ij}$ para $ i=1,\ldots ,m, j=1,2,\ldots ,n$ son números reales. Notemos que si si $A$ es la matriz de coeficientes del sistema, entonces la matriz aumentada asociada al sistema homogéneo es de la forma $\left[ A\mid \mathbf{0} \right]$.

Nota: Los sistemas de ecuaciones lineales homogéneos son especiales por siempre son consistentes. En efecto, notemos que la solución trivial \begin{equation} x_{1}=0,\quad x_{2}=0,\quad \ldots \quad ,x_{n}=0 \end{equation} siempre es solución de un sistema homogéneo. Por esta razón un sistema de ecuaciones lineales homogéneo siempre tiene solución única o infinitas soluciones.

Teorema: Supongamos que tenemos un un sistema homogéneo de $m$ ecuaciones con $n$ incógnitas, $\left[ A\mid \mathbf{0}\right]$. Si $m< n$, entonces el sistema tiene infinitas soluciones.

Demostración: Como el sistema es un sistema homogéneo, entonces el sistema es consistente. Por otro lado, la matriz $A$ tiene $m$ filas y $n$ columnas. Dado que solamente tenemos a lo sumo un pivote por cada fila de $A$, entonces $\text{Rango}(A)\le m< n$ . Utilizando esta desigualdad y el teorema del rango se concluye que $\#\left( \text{variables libres}\right)= n-\text{Rango}(A)>0$. Así el sistema es consistente y tiene al menos una variable libre y por lo tanto tiene infinitas soluciones.

Ejemplo: Sean \begin{equation*} v_{1}=\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array} \right], \qquad v_{2}=\left[ \begin{array}{c} -1 \\ -3 \\ -2 \end{array} \right], \qquad v_{3}=\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array} \right] \qquad \text{y}\qquad w=\left[ \begin{array}{c} 5 \\ 9 \\ 10 \end{array} \right]. \end{equation*}

1. Halle una regla para determinar cuándo un vector de $\mathbb{R }^{3}$ es combinación lineal de $v_{1},$ $v_{2}$ y $v_{3}$.
2. ¿Es $w$ combinación lineal de los vectores $ v_{1},v_{2}$ y $v_{3}$?

Solución:

1. Sea $v=\left[ \begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array} \right]$ un vector en $\mathbb{R}^{3}$ que sea combinación lineal de $ v_{1},v_{2}$ y $v_{3}.$ Luego, existen escalares $c_{1},c_{2}$ y $c_{3}$ tales que \begin{equation} \left[ \begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array} \right] =c_{1}\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array} \right] +c_{2}\left[ \begin{array}{c} -1 \\ -3 \\ -2 \end{array} \right]+ c_{3}\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array}\right] =\left[ \begin{array}{ccccc} c_{1} & - & c_{2} & + & c_{3} \\ 2c_{1} & - & 3c_{2} & + & 2c_{3} \\ 2c_{1} & - & 2c_{2} & + & 2c_{3} \end{array} \right]. \end{equation} Por consiguiente, \begin{equation} \begin{array}{ccccccc} c_{1} & - & c_{2} & + & c_{3} & = & a \\ 2c_{1} & - & 3c_{2} & + & 2c_{3} & = & b \\ 2c_{1} & - & 2c_{2} & + & 2c_{3} & = & c. \end{array} \end{equation} De lo anterior, $v$ es combinación lineal de $v_{1},v_{2}$ y $v_{3}$ si y sólo si el sistema lineal anterior es consistente. Encontremos condiciones sobre $a,$ $b$ y $c$ de tal forma que el sistema lineal anterior sea soluble. En efecto, la matriz aumentada y su respectivo escalonamiento se muestra a continuación: \begin{equation} \left[ \begin{array}{rrr|r}1 & -1 & 1 & a \\ 2 & -3 & 2 & b \\ 2 & -2 & 2 & c \end{array} \right] \rightarrow \left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & -1 & 1 & a \\ 0 & 1 & 0 & 2a-b \\ 0 & 0 & 0 & 2a-c \end{array} \right] .\end{equation} De la anterior ecuación se sigue que el sistema solamente tiene solución cuando $2a-c=0$, en otras palabras, la regla pedida es $2a=c$.
2. El vector $w$ si es combinación lineal de $ v_{1},v_{2}$ y $v_{3}$ ya que si $a=5$, $b=9$ y $c=10$, entonces $2a-c=2(5)-10=0$, es decir, el vector cumple la regla $2a=c$.

Ejercicios de práctica

Te invitamos a practicar los conocimientos aprendidos en esta parte de la clase realizando los siguientes ejercicios.