1. Subespacios de $\mathbb{R}^{n}$

Definición: Un subespacio de $\mathbb{R}^{n}$ es un subconjunto $S$ de vectores en $\mathbb{R}^{n}$ que satisface las siguientes propiedades:

1. El vector $\mathbf{0}$ está en $S.$
2. Si $u$ y $v$ están en $S,$ entonces $u+v$ está en $S$ (esto es, $S$ es cerrado bajo la suma).
3. Si $u$ está en $S$ y $c\in$ $\mathbb{R},$ entonces $cu$ está en $S$ (esto es, $S$ es cerrado bajo el producto escalar).

Nota: Los conjuntos $\left\{ \mathbf{0}\right\}$ y $\mathbb{R}^{n}$ son subespacios de $\mathbb{R}^{n}$ y son llamados subespacios triviales.

Ejemplo: Demostrar que toda recta en $\mathbb{R}^{3}$ que pase por el origen es subespacio de $\mathbb{R}^{3}.$

Solución: Si $L$ es una recta en $\mathbb{R}^{3}$ que pasa por el origen, entonces $L$ tiene la forma $$\begin{equation*} L=\left.\left\{ \lambda \left[ \begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array} \right] \right| \lambda \in \mathbb{R}\right\}, \text{ donde }\left[ \begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array} \right] \text{ es un vector director de }L. \end{equation*}$$ Veamos que $L$ satisface las condiciones de ser subespacio.

1. Tomando $\lambda =0,$ tenemos que $\mathbf{0}=\left[ \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right] =0\left[ \begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array} \right] \in L.$
2. Sean $u=\lambda _{1}\left[ \begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array} \right] , v=\lambda _{2}\left[ \begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array} \right]$ vectores en $L.$ Por tanto $u+v=\lambda _{1}\left[ \begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array} \right] +\lambda _{2}\left[ \begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array} \right] =\left( \lambda _{1}+\lambda _{2}\right) \left[ \begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array} \right] \in L.$
3. Sea $u=\lambda \left[ \begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array} \right] \in L$ y $d\in \mathbb{R}.$ Luego, $du=\left( d\lambda \right) \left[ \begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array} \right] \in L$. De todo lo anterior, $L$ es un subespacio de $\mathbb{R}^{3}.$

Ejemplo: ¿Es $S=\left.\left\{ \left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right] \in \mathbb{R}^{3}\right| x+y+z+1=0\right\}$ un subespacio de $\mathbb{R}^{3}?$

Solución: $S$ no es subespacio de $\mathbb{R}^{3}$ ya que $\mathbf{0}\notin S$.

Ejemplo: ¿Es $T=\left.\left\{ \left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right] \in \mathbb{R}^{3}\right| x^{2}+y^{2}+z=0\right\}$ un subespacio de $\mathbb{R}^{3}?$

Solución: Notemos que $\mathbf{0}\in T.$ Pero, $T$ no es cerrado bajo la suma. Por ejemplo, $u=\left[ \begin{array}{r} 1 \\ -1 \\ -2 \end{array} \right] , v=\left[ \begin{array}{r} 0 \\ 1 \\ -1 \end{array} \right] \in T.$ Sin embargo, $u+v=\left[ \begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ -3 \end{array} \right] \notin T,$ dado que $1^{2}+0^{2}+\left( -3\right) =-2\neq 0.$ Luego, $T$ no es subespacio.

Ejemplo: ¿Es $U=\left.\left\{ \left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right] \in \mathbb{R}^{2}\right| x\geq 0\quad \text{y}\quad y\geq 0\right\}$ un subespacio de $\mathbb{R}^{2}?$

Solución: Se puede verificar que $\left[ \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right] \in U$ y que $U$ es cerrado bajo la suma. Pero, $U$ no es cerrado bajo el producto escalar. Por ejemplo, si tomamos $u=\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right] \in U$ y $c=-1,$ entonces $cu=\left[ \begin{array}{r} -1 \\ -2 \end{array} \right] \notin U.$ Así, $U$ no es subespacio.

Teorema: Si $v_{1},v_{2},\ldots ,v_{k}$ son vectores en $\mathbb{R}^{n},$ entonces $\text{gen}(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{k})$ es un subespacio de $\mathbb{R}^{n}.$