2. Subespacios asociados a matrices

Espacio fila y espacio columna

Definición: Sea A una matriz de orden m×n.

  1. El espacio fila de A es el subespacio de Rn generado por las filas de A, el cual se denota por Ren(A).
  2. El espacio columna de A es el subespacio de Rm generado por las columnas de A y se denotapor Col(A).

Nota: Dado un vector wRn:wRen(A)wTCol(AT). Así, Ren(A)=Col(AT).

Teorema: Si B es cualquier matriz equivalente por fila a una matriz A, entonces Ren(B)=Ren(A).

Ejemplo: Muestre que el conjunto S={[a+b+caca+b]|a,b,cR} es un subespacio de R3.

Solución: Para cualquier vector uS se cumple que u=[a+b+caca+b]=a[111]+b[101]+c[110]. Luego, S=gen([111],[101],[110])=Col[111101110]. Por el teorema anterior ,  S es subespacio de R3.

Espacio nulo

Definición: Sea A una matriz de orden m×n. El espacio nulo de A, denotado por Nul(A), se define como el conjunto de todas las soluciones del sistema lineal homogéneo asociado a [A0].

Teorema: Si A es una matriz de orden m×n, entonces Nul(A) es un subespacio de Rn.

Prueba: Veamos que Nul(A)={XRnAX=0} satisface las condiciones de subespacio.

  1. El vector cero 0Rn satisface A0=0. Luego, 0Nul(A).
  2. Sean u,vNul(A). Luego, Au=0=Av. Ahora, A(u+v)=Au+Av=0+0=0. Así , u+vNul(A).
  3. Sean uNul(A) y cR. Entonces A(cu)=c(Au)=c0=0. Luego, cuNul(A).


Ejemplo:
Muestre que W={[xyzw]R4|x+y+z+w=0,yzw=0} es un subespacio de R4.

Este problema se puede resolver de dos maneras distintas.

Solución 1: Si u=[xyzw], entonces uW si y solamente si x=2z2wy=z+w. Por lo tanto u=[2z2wz+wzw]=z[2110]+w[2101]   con z,wR. Por lo tanto W=gen([2110],[2101]) es un subespacio de R4.

Solución 2: Por otro lado si u=[xyzw], entonces uW si y solamente si x+y+z+w=0,yzw=0, es decir, [11110111][xyzw]=[00]. Luego, W=Nul(A), donde A=[11110111]. Por lo tanto W es un subespacio de R4.

Ejemplo: Sean A=[123257134145],b=[1211],b=[1111]yc=[111],c=[210].

  1. Halle el espacio columna de A mediante una expresión que permita verificar fácilmente si un vector de R4 pertenece o no a dicho espacio.
  2. Determine si bCol(A) y si bCol(A).
  3. Determine si cNul(A) y si cNul(A).
  4. Halle el espacio fila de A mediante una expresión que permita verificar fácilmente si un vector de R3 pertenece o no a dicho espacio.
  5. Determine si d=[113]Ren(A) y si d=[112]Ren(A).

Solución:

  1. Notemos que uCol(A) si y solamente el sistema AX=u es consistente. A pliquemos eliminación Gaussiana: [123x257y134z145w]R22R1R3+R1R4R1[123x011y2x011x+z022wx]R3+R2R42R2[123x011y2x000(x+z)+(y2x)000wx2(y2x)] Así, el sistema es consistente si y solamente xyz=0 y 3x2y+w=0. Por tanto, Col(A)={[xyzw]R4|xyz=03x2y+w=0}.
  2. Vamos a utilizar el numeral anterior. Como 12(1)=0 y 3(1)2(2)+1=0, se tiene que bcol(A). Como 111=10, se tiene que bCol(A).
  3. Primero, calculemos Ac=[123257134145][111]=[0000]yAc=[123257134145][210]=[0112][0000]. Por tanto, cNul(A) y si cNul(A).
  4. Dado que Ren(A)=Col(AT), encontremos condiciones para que un vector [xyz]Col(AT). [1211x2534y3745z]R22R1R33R1[1211x0112y2x0112z3x]R3R2[1211x0112y2x0000z3x(y2x)] Como el sistema debe ser consistente, se tiene que Ren(A)={[xyz]R3|x+yz=0}.
  5. Utilicemos el numeral anterior. Como 1+13=30, es claro que dRen(A). Como 1+12=0, se tiene que dren(A).

Ejercicios de práctica

Te invitamos a practicar los conocimientos aprendidos en esta parte de la clase realizando los siguientes ejercicios.