2. Subespacios asociados a matrices

Espacio fila y espacio columna

Definición: Sea $A$ una matriz de orden $m\times n.$

1. El espacio fila de $A$ es el subespacio de $\mathbb{R}^{n}$ generado por las filas de $A,$ el cual se denota por $\text{Ren}\left( A\right) .$
2. El espacio columna de $A$ es el subespacio de $\mathbb{R}^{m}$ generado por las columnas de $A$ y se denotapor $\text{Col}\left( A\right).$

Nota: Dado un vector $w\in \mathbb{R}^{n}:w\in \text{Ren}(A)\Leftrightarrow w^{T}\in \text{Col}\left( A^{T}\right).$ Así, $\text{Ren}(A)=\text{Col}\left( A^{T}\right)$.

Teorema: Si $B$ es cualquier matriz equivalente por fila a una matriz $A,$ entonces $\text{Ren}\left( B\right) =\text{Ren}\left( A\right)$.

Ejemplo: Muestre que el conjunto $S=\left.\left\{ \begin{bmatrix} a+b+c \\ a-c \\ a+b \end{bmatrix} \right| a,b,c\in \mathbb{R}\right\} $ es un subespacio de $\mathbb{R}^{3}.$

Solución: Para cualquier vector $u\in S$ se cumple que \begin{equation*} u= \begin{bmatrix} a+b+c \\ a-c \\ a+b \end{bmatrix} =a\left[ \begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right] + b\left[ \begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right] + c\left[ \begin{array}{r} 1 \\ -1 \\ 0 \end{array} \right]. \end{equation*} Luego, \begin{equation*} S=\text{gen}\left( \left[ \begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right] , \left[ \begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right] , \left[ \begin{array}{r} 1 \\ -1 \\ 0 \end{array} \right] \right) =\text{Col}\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} \right]. \end{equation*} Por el teorema anterior , $\ S$ es subespacio de $\mathbb{R}^{3}.$

Espacio nulo

Definición: Sea $A$ una matriz de orden $m\times n.$ El espacio nulo de $A,$ denotado por $\text{Nul}\left( A\right) ,$ se define como el conjunto de todas las soluciones del sistema lineal homogéneo asociado a $\left[ A\mid \mathbf{0}\right] .$

Teorema: Si $A$ es una matriz de orden $m\times n,$ entonces $\text{Nul}(A)$ es un subespacio de $\mathbb{R}^{n}.$

Prueba: Veamos que $\text{Nul}\left( A\right) = \left\{ X\in \mathbb{R}^{n}\mid AX= \mathbf{0}\right\} $ satisface las condiciones de subespacio.

1. El vector cero $\mathbf{0}\in \mathbb{R}^{n}$ satisface $A\mathbf{0}= \mathbf{0}.$ Luego, $\mathbf{0}\in \mathrm{Nul}\left( A\right).$
2. Sean $u,v\in \mathrm{Nul}\left( A\right) .$ Luego, $Au=\mathbf{0}=Av.$ Ahora, $A\left( u+v\right) =Au+Av=\mathbf{0}+\mathbf{0}=\mathbf{0}.$ Así , $u+v\in \mathrm{Nul}\left( A\right).$
3. Sean $u\in \mathrm{Nul}\left( A\right) $ y $c\in \mathbb{R}$. Entonces $A\left( cu\right) =c\left( Au\right) =c\mathbf{0}=\mathbf{0}.$ Luego, $cu\in \mathrm{Nul}\left( A\right).$
   
   

Ejemplo: Muestre que $W=\left.\left\{ \left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ w \end{array} \right] \in \mathbb{R}^{4}\right| x+y+z+w=0,\quad y-z-w=0\right\} $ es un subespacio de $\mathbb{R}^{4}.$

Este problema se puede resolver de dos maneras distintas.

Solución 1: Si $u=\left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ w \end{array} \right]$, entonces $u \in W$ si y solamente si \[ \begin{array}{rrl} x & = & -2z-2w \\ y & = & z+w. \end{array} \] Por lo tanto \[ u= \begin{bmatrix} -2z-2w \\ z+w \\ z \\ w \end{bmatrix} =z\left[ \begin{array}{r} -2 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right] + w\left[ \begin{array}{r} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right] \ \ \text{ con } z,w\in \mathbb{R}. \] Por lo tanto $W=\mathrm{gen}\left( \left[ \begin{array}{r} -2 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right] , \left[ \begin{array}{r} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right] \right) $ es un subespacio de $\mathbb{R}^{4}$.

Solución 2: Por otro lado si $u=\left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ w \end{array} \right]$, entonces $u\in W$ si y solamente si \[ \begin{array}{r} x+y+z+w=0, \\ y-z-w=0, \\ \end{array} \] es decir, \[ \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & -1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ w \end{array} \right] = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}. \] Luego, $W=\mathrm{Nul}\left( A\right) ,$ donde $A=\left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & -1 \end{array} \right].$ Por lo tanto $W$ es un subespacio de $\mathbb{R}^{4}$.

Ejemplo: Sean \begin{equation*} A=\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 7 \\ -1 & -3 & -4 \\ 1 & 4 & 5 \end{array} \right] ,\qquad b=\left[ \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ -1 \\ 1 \end{array} \right] , \quad b^{\prime }=\left[ \begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right] \qquad \text{y}\qquad c=\left[ \begin{array}{r} -1 \\ -1 \\ 1 \end{array} \right] , \quad c^{\prime }=\left[ \begin{array}{r} -2 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right]. \end{equation*}

1. Halle el espacio columna de $A$ mediante una expresión que permita verificar fácilmente si un vector de $\mathbb{R}^{4}$ pertenece o no a dicho espacio.
2. Determine si $b\in \text{Col}(A)$ y si $b^{\prime }\in \text{Col}(A)$.
3. Determine si $c\in \mathrm{Nul}(A)$ y si $c^{\prime }\in \text{Nul}(A).$
4. Halle el espacio fila de $A$ mediante una expresión que permita verificar fácilmente si un vector de $\mathbb{R}^{3}$ pertenece o no a dicho espacio.
5. Determine si $d= \begin{bmatrix} -1 & 1 & 3 \end{bmatrix} \in \mathrm{Ren}(A)$ y si $d^{\prime }= \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \end{bmatrix} \in \mathrm{Ren}(A).$

Solución:

1. Notemos que $u\in \text{Col}\left( A\right) $ si y solamente el sistema $AX=u$ es consistente. A pliquemos eliminación Gaussiana: \begin{equation*} \left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 2 & 3 & x \\ 2 & 5 & 7 & y \\ -1 & -3 & -4 & z \\ 1 & 4 & 5 & w \end{array} \right] \underset{R_{4}-R_{1}}{\underset{R_{3}+R_{1}}{\overset{R_{2}-2R_{1}} {\rightarrow }}} \left[ \begin{array}{rrr|c} 1 & 2 & 3 & x \\ 0 & 1 & 1 & y-2x \\ 0 & -1 & -1 & x+z \\ 0 & 2 & 2 & w-x \end{array} \right] \underset{R_{4}-2R_{2}}{\overset{R_{3}+R_{2}}{\rightarrow }} \left[ \begin{array}{rrr|c} 1 & 2 & 3 & x \\ 0 & 1 & 1 & y-2x \\ 0 & 0 & 0 & \left( x+z\right) +\left( y-2x\right) \\ 0 & 0 & 0 & w-x-2(y-2x) \end{array} \right] \end{equation*} Así, el sistema es consistente si y solamente $x-y-z=0$ y $3x-2y+w=0.$ Por tanto, \begin{equation*} \text{Col}(A)= \left.\left\{ \left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ w \end{array} \right] \in \mathbb{R}^{4}\right| \begin{array}{r} x-y-z=0 \\ 3x-2y+w=0 \end{array} \right\} . \end{equation*}
2. Vamos a utilizar el numeral anterior. Como $1-2-(-1)=0$ y $3(1)-2(2)+1=0,$ se tiene que $b\in \text{col}(A).$ Como $1-1-1=-1\neq 0,$ se tiene que $b^{\prime }\notin \text{Col}\left( A\right).$
3. Primero, calculemos \begin{equation*} Ac= \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 7 \\ -1 & -3 & -4 \\ 1 & 4 & 5 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{r} -1 \\ -1 \\ 1 \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right] \qquad \text{y}\qquad Ac^{\prime }= \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 7 \\ -1 & -3 & -4 \\ 1 & 4 & 5 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{r} -2 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{r} 0 \\ 1 \\ -1 \\ 2 \end{array} \right] \neq \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right] . \end{equation*} Por tanto, $c\in \text{Nul}(A)$ y si $c^{\prime } \notin \text{Nul}(A).$
4. Dado que $\text{Ren}\left( A\right) =\text{Col}(A^{T}),$ encontremos condiciones para que un vector $\left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right] \in \text{Col}(A^{T}).$ \begin{equation*} \left[ \begin{array}{rrrr|r} 1 & 2 & -1 & 1 & x \\ 2 & 5 & -3 & 4 & y \\ 3 & 7 & -4 & 5 & z \end{array} \right] \underset{R_{3}-3R_{1}}{\overset{R_{2}-2R_{1}}{\rightarrow }} \left[ \begin{array}{rrrr|c} 1 & 2 & -1 & 1 & x \\ 0 & 1 & -1 & 2 & y-2x \\ 0 & 1 & -1 & 2 & z-3x \end{array} \right] \overset{R_{3}-R_{2}}{\rightarrow } \left[ \begin{array}{rrrr|c} 1 & 2 & -1 & 1 & x \\ 0 & 1 & -1 & 2 & y-2x \\ 0 & 0 & 0 & 0 & z-3x-\left( y-2x\right) \end{array} \right] \end{equation*} Como el sistema debe ser consistente, se tiene que \begin{equation*} \text{Ren}\left( A\right) = \left.\left\{ \left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right] \in \mathbb{R}^{3}\right| x+y-z=0\right\} . \end{equation*}
5. Utilicemos el numeral anterior. Como $-1+1-3=-3\neq 0,$ es claro que $d\notin \text{Ren}\left( A\right)$. Como $1+1-2=0,$ se tiene que $d^{\prime }\in \mathrm{ren}\left( A\right).$

Ejercicios de práctica

Te invitamos a practicar los conocimientos aprendidos en esta parte de la clase realizando los siguientes ejercicios.