Clase 11. Parte 2. Subespacios asociados a matrices
Clase 11. Parte 2. Subespacios asociados a matrices
2. Subespacios asociados a matrices
Espacio fila y espacio columna
Definición: Sea A una matriz de orden m×n.
El espacio fila de A es el subespacio de Rn generado por las filas de A, el cual se denota por Ren(A).
El espacio columna de A es el subespacio de Rm generado por las columnas de A y se denotapor Col(A).
Nota: Dado un vector w∈Rn:w∈Ren(A)⇔wT∈Col(AT). Así, Ren(A)=Col(AT).
Teorema: Si B es cualquier matriz equivalente por fila a una matriz A, entonces Ren(B)=Ren(A).
Ejemplo: Muestre que el conjunto S=⎧⎪⎨⎪⎩⎡⎢⎣a+b+ca−ca+b⎤⎥⎦∣∣
∣∣a,b,c∈R⎫⎪⎬⎪⎭ es un subespacio de R3.
Solución: Para cualquier vector u∈S se cumple que u=⎡⎢⎣a+b+ca−ca+b⎤⎥⎦=a⎡⎢⎣111⎤⎥⎦+b⎡⎢⎣101⎤⎥⎦+c⎡⎢⎣1−10⎤⎥⎦. Luego, S=gen⎛⎜⎝⎡⎢⎣111⎤⎥⎦,⎡⎢⎣101⎤⎥⎦,⎡⎢⎣1−10⎤⎥⎦⎞⎟⎠=Col⎡⎢⎣11110−1110⎤⎥⎦. Por el teorema anterior , S es subespacio de R3.
Espacio nulo
Definición: Sea A una matriz de orden m×n. El espacio nulo de A, denotado por Nul(A), se define como el conjunto de todas las soluciones del sistema lineal homogéneo asociado a [A∣0].
Teorema: Si A es una matriz de orden m×n, entonces Nul(A) es un subespacio de Rn.
Prueba: Veamos que Nul(A)={X∈Rn∣AX=0} satisface las condiciones de subespacio.
El vector cero 0∈Rn satisface A0=0. Luego, 0∈Nul(A).
Sean u,v∈Nul(A). Luego, Au=0=Av. Ahora, A(u+v)=Au+Av=0+0=0. Así , u+v∈Nul(A).
Sean u∈Nul(A) y c∈R. Entonces A(cu)=c(Au)=c0=0. Luego, cu∈Nul(A).
Ejemplo: Muestre que W=⎧⎪
⎪
⎪
⎪⎨⎪
⎪
⎪
⎪⎩⎡⎢
⎢
⎢⎣xyzw⎤⎥
⎥
⎥⎦∈R4∣∣
∣
∣
∣∣x+y+z+w=0,y−z−w=0⎫⎪
⎪
⎪
⎪⎬⎪
⎪
⎪
⎪⎭ es un subespacio de R4.
Este problema se puede resolver de dos maneras distintas.
Solución 1: Si u=⎡⎢
⎢
⎢⎣xyzw⎤⎥
⎥
⎥⎦, entonces u∈W si y solamente si x=−2z−2wy=z+w. Por lo tanto u=⎡⎢
⎢
⎢⎣−2z−2wz+wzw⎤⎥
⎥
⎥⎦=z⎡⎢
⎢
⎢⎣−2110⎤⎥
⎥
⎥⎦+w⎡⎢
⎢
⎢⎣−2101⎤⎥
⎥
⎥⎦ con z,w∈R. Por lo tanto W=gen⎛⎜
⎜
⎜⎝⎡⎢
⎢
⎢⎣−2110⎤⎥
⎥
⎥⎦,⎡⎢
⎢
⎢⎣−2101⎤⎥
⎥
⎥⎦⎞⎟
⎟
⎟⎠ es un subespacio de R4.
Solución 2: Por otro lado si u=⎡⎢
⎢
⎢⎣xyzw⎤⎥
⎥
⎥⎦, entonces u∈W si y solamente si x+y+z+w=0,y−z−w=0, es decir, [111101−1−1]⎡⎢
⎢
⎢⎣xyzw⎤⎥
⎥
⎥⎦=[00]. Luego, W=Nul(A), donde A=[111101−1−1]. Por lo tanto W es un subespacio de R4.
Halle el espacio columna de A mediante una expresión que permita verificar fácilmente si un vector de R4 pertenece o no a dicho espacio.
Determine si b∈Col(A) y si b′∈Col(A).
Determine si c∈Nul(A) y si c′∈Nul(A).
Halle el espacio fila de A mediante una expresión que permita verificar fácilmente si un vector de R3 pertenece o no a dicho espacio.
Determine si d=[−113]∈Ren(A) y si d′=[112]∈Ren(A).
Solución:
Notemos que u∈Col(A) si y solamente el sistema AX=u es consistente. A pliquemos eliminación Gaussiana: ⎡⎢
⎢
⎢
⎢⎣123x257y−1−3−4z145w⎤⎥
⎥
⎥
⎥⎦R2−2R1→R3+R1R4−R1⎡⎢
⎢
⎢
⎢⎣123x011y−2x0−1−1x+z022w−x⎤⎥
⎥
⎥
⎥⎦R3+R2→R4−2R2⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣123x011y−2x000(x+z)+(y−2x)000w−x−2(y−2x)⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦ Así, el sistema es consistente si y solamente x−y−z=0 y 3x−2y+w=0. Por tanto, Col(A)=⎧⎪
⎪
⎪
⎪⎨⎪
⎪
⎪
⎪⎩⎡⎢
⎢
⎢⎣xyzw⎤⎥
⎥
⎥⎦∈R4∣∣
∣
∣
∣∣x−y−z=03x−2y+w=0⎫⎪
⎪
⎪
⎪⎬⎪
⎪
⎪
⎪⎭.
Vamos a utilizar el numeral anterior. Como 1−2−(−1)=0 y 3(1)−2(2)+1=0, se tiene que b∈col(A). Como 1−1−1=−1≠0, se tiene que b′∉Col(A).
Primero, calculemos Ac=⎡⎢
⎢
⎢⎣123257−1−3−4145⎤⎥
⎥
⎥⎦⎡⎢⎣−1−11⎤⎥⎦=⎡⎢
⎢
⎢⎣0000⎤⎥
⎥
⎥⎦yAc′=⎡⎢
⎢
⎢⎣123257−1−3−4145⎤⎥
⎥
⎥⎦⎡⎢⎣−210⎤⎥⎦=⎡⎢
⎢
⎢⎣01−12⎤⎥
⎥
⎥⎦≠⎡⎢
⎢
⎢⎣0000⎤⎥
⎥
⎥⎦. Por tanto, c∈Nul(A) y si c′∉Nul(A).
Dado que Ren(A)=Col(AT), encontremos condiciones para que un vector ⎡⎢⎣xyz⎤⎥⎦∈Col(AT).⎡⎢
⎢⎣12−11x25−34y37−45z⎤⎥
⎥⎦R2−2R1→R3−3R1⎡⎢
⎢⎣12−11x01−12y−2x01−12z−3x⎤⎥
⎥⎦R3−R2→⎡⎢
⎢⎣12−11x01−12y−2x0000z−3x−(y−2x)⎤⎥
⎥⎦ Como el sistema debe ser consistente, se tiene que Ren(A)=⎧⎪⎨⎪⎩⎡⎢⎣xyz⎤⎥⎦∈R3∣∣
∣∣x+y−z=0⎫⎪⎬⎪⎭.
Utilicemos el numeral anterior. Como −1+1−3=−3≠0, es claro que d∉Ren(A). Como 1+1−2=0, se tiene que d′∈ren(A).
Ejercicios de práctica
Te invitamos a practicar los conocimientos aprendidos en esta parte de la clase realizando los siguientes ejercicios.