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Clase 11. Parte 2. Subespacios asociados a matrices

2. Subespacios asociados a matrices

Espacio fila y espacio columna

Definición: Sea AA una matriz de orden m×n.m×n.

  1. El espacio fila de AA es el subespacio de RnRn generado por las filas de A,A, el cual se denota por Ren(A).Ren(A).
  2. El espacio columna de AA es el subespacio de RmRm generado por las columnas de AA y se denotapor Col(A).Col(A).

Nota: Dado un vector w∈Rn:w∈Ren(A)⇔wT∈Col(AT).w∈Rn:w∈Ren(A)⇔wT∈Col(AT). Así, Ren(A)=Col(AT)Ren(A)=Col(AT).

Teorema: Si BB es cualquier matriz equivalente por fila a una matriz A,A, entonces Ren(B)=Ren(A)Ren(B)=Ren(A).

Ejemplo: Muestre que el conjunto S={[a+b+ca−ca+b]|a,b,c∈R}S=⎧⎪⎨⎪⎩⎡⎢⎣a+b+ca−ca+b⎤⎥⎦∣∣ ∣∣a,b,c∈R⎫⎪⎬⎪⎭ es un subespacio de R3.R3.

Solución: Para cualquier vector u∈Su∈S se cumple que u=[a+b+ca−ca+b]=a[111]+b[101]+c[1−10].u=⎡⎢⎣a+b+ca−ca+b⎤⎥⎦=a⎡⎢⎣111⎤⎥⎦+b⎡⎢⎣101⎤⎥⎦+c⎡⎢⎣1−10⎤⎥⎦. Luego, S=gen([111],[101],[1−10])=Col[11110−1110].S=gen⎛⎜⎝⎡⎢⎣111⎤⎥⎦,⎡⎢⎣101⎤⎥⎦,⎡⎢⎣1−10⎤⎥⎦⎞⎟⎠=Col⎡⎢⎣11110−1110⎤⎥⎦. Por el teorema anterior ,  S S es subespacio de R3.R3.

Espacio nulo

Definición: Sea AA una matriz de orden m×n.m×n. El espacio nulo de A,A, denotado por Nul(A),Nul(A), se define como el conjunto de todas las soluciones del sistema lineal homogéneo asociado a [A∣0].[A∣0].

Teorema: Si AA es una matriz de orden m×n,m×n, entonces Nul(A)Nul(A) es un subespacio de Rn.Rn.

Prueba: Veamos que Nul(A)={X∈Rn∣AX=0}Nul(A)={X∈Rn∣AX=0} satisface las condiciones de subespacio.

  1. El vector cero 0∈Rn0∈Rn satisface A0=0.A0=0. Luego, 0∈Nul(A).0∈Nul(A).
  2. Sean u,v∈Nul(A).u,v∈Nul(A). Luego, Au=0=Av.Au=0=Av. Ahora, A(u+v)=Au+Av=0+0=0.A(u+v)=Au+Av=0+0=0. Así , u+v∈Nul(A).u+v∈Nul(A).
  3. Sean u∈Nul(A)u∈Nul(A) y c∈Rc∈R. Entonces A(cu)=c(Au)=c0=0.A(cu)=c(Au)=c0=0. Luego, cu∈Nul(A).cu∈Nul(A).


Ejemplo: Muestre que W={[xyzw]∈R4|x+y+z+w=0,y−z−w=0}W=⎧⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎨⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩⎡⎢ ⎢ ⎢⎣xyzw⎤⎥ ⎥ ⎥⎦∈R4∣∣ ∣ ∣ ∣∣x+y+z+w=0,y−z−w=0⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭ es un subespacio de R4.R4.

Este problema se puede resolver de dos maneras distintas.

Solución 1: Si u=[xyzw]u=⎡⎢ ⎢ ⎢⎣xyzw⎤⎥ ⎥ ⎥⎦, entonces u∈Wu∈W si y solamente si x=−2z−2wy=z+w.x=−2z−2wy=z+w. Por lo tanto u=[−2z−2wz+wzw]=z[−2110]+w[−2101]   con z,w∈R.u=⎡⎢ ⎢ ⎢⎣−2z−2wz+wzw⎤⎥ ⎥ ⎥⎦=z⎡⎢ ⎢ ⎢⎣−2110⎤⎥ ⎥ ⎥⎦+w⎡⎢ ⎢ ⎢⎣−2101⎤⎥ ⎥ ⎥⎦   con z,w∈R. Por lo tanto W=gen([−2110],[−2101])W=gen⎛⎜ ⎜ ⎜⎝⎡⎢ ⎢ ⎢⎣−2110⎤⎥ ⎥ ⎥⎦,⎡⎢ ⎢ ⎢⎣−2101⎤⎥ ⎥ ⎥⎦⎞⎟ ⎟ ⎟⎠ es un subespacio de R4R4.

Solución 2: Por otro lado si u=[xyzw]u=⎡⎢ ⎢ ⎢⎣xyzw⎤⎥ ⎥ ⎥⎦, entonces u∈Wu∈W si y solamente si x+y+z+w=0,y−z−w=0,x+y+z+w=0,y−z−w=0, es decir, [111101−1−1][xyzw]=[00].[111101−1−1]⎡⎢ ⎢ ⎢⎣xyzw⎤⎥ ⎥ ⎥⎦=[00]. Luego, W=Nul(A),W=Nul(A), donde A=[111101−1−1].A=[111101−1−1]. Por lo tanto WW es un subespacio de R4R4.

Ejemplo: Sean A=[123257−1−3−4145],b=[12−11],b′=[1111]yc=[−1−11],c′=[−210].A=⎡⎢ ⎢ ⎢⎣123257−1−3−4145⎤⎥ ⎥ ⎥⎦,b=⎡⎢ ⎢ ⎢⎣12−11⎤⎥ ⎥ ⎥⎦,b′=⎡⎢ ⎢ ⎢⎣1111⎤⎥ ⎥ ⎥⎦yc=⎡⎢⎣−1−11⎤⎥⎦,c′=⎡⎢⎣−210⎤⎥⎦.

  1. Halle el espacio columna de AA mediante una expresión que permita verificar fácilmente si un vector de R4R4 pertenece o no a dicho espacio.
  2. Determine si b∈Col(A)b∈Col(A) y si b′∈Col(A)b′∈Col(A).
  3. Determine si c∈Nul(A)c∈Nul(A) y si c′∈Nul(A).c′∈Nul(A).
  4. Halle el espacio fila de AA mediante una expresión que permita verificar fácilmente si un vector de R3R3 pertenece o no a dicho espacio.
  5. Determine si d=[−113]∈Ren(A)d=[−113]∈Ren(A) y si d′=[112]∈Ren(A).d′=[112]∈Ren(A).

Solución:

  1. Notemos que u∈Col(A)u∈Col(A) si y solamente el sistema AX=uAX=u es consistente. A pliquemos eliminación Gaussiana: [123x257y−1−3−4z145w]R2−2R1→R3+R1R4−R1[123x011y−2x0−1−1x+z022w−x]R3+R2→R4−2R2[123x011y−2x000(x+z)+(y−2x)000w−x−2(y−2x)]⎡⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣123x257y−1−3−4z145w⎤⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦R2−2R1→R3+R1R4−R1⎡⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣123x011y−2x0−1−1x+z022w−x⎤⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦R3+R2→R4−2R2⎡⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣123x011y−2x000(x+z)+(y−2x)000w−x−2(y−2x)⎤⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦ Así, el sistema es consistente si y solamente x−y−z=0 y 3x−2y+w=0. Por tanto, Col(A)={[xyzw]∈R4|x−y−z=03x−2y+w=0}.
  2. Vamos a utilizar el numeral anterior. Como 1−2−(−1)=0 y 3(1)−2(2)+1=0, se tiene que b∈col(A). Como 1−1−1=−1≠0, se tiene que b′∉Col(A).
  3. Primero, calculemos Ac=[123257−1−3−4145][−1−11]=[0000]yAc′=[123257−1−3−4145][−210]=[01−12]≠[0000]. Por tanto, c∈Nul(A) y si c′∉Nul(A).
  4. Dado que Ren(A)=Col(AT), encontremos condiciones para que un vector [xyz]∈Col(AT). [12−11x25−34y37−45z]R2−2R1→R3−3R1[12−11x01−12y−2x01−12z−3x]R3−R2→[12−11x01−12y−2x0000z−3x−(y−2x)] Como el sistema debe ser consistente, se tiene que Ren(A)={[xyz]∈R3|x+y−z=0}.
  5. Utilicemos el numeral anterior. Como −1+1−3=−3≠0, es claro que d∉Ren(A). Como 1+1−2=0, se tiene que d′∈ren(A).

Ejercicios de práctica

Te invitamos a practicar los conocimientos aprendidos en esta parte de la clase realizando los siguientes ejercicios.