Clase 8. Parte 1. Conjuntos generadores

1. Conjuntos Generadores

Recordemos que un vector vv es combinación lineal de los vectores v1,v2,…,vkv1,v2,…,vk si existen escalares c1,c2,…,ckc1,c2,…,ck tales que v=c1v1+c2v2+⋯+ckvk.v=c1v1+c2v2+⋯+ckvk.
Definición: Sea S={v1,v2,…,vk}S={v1,v2,…,vk} un conjunto de vectores en Rn.Rn. El conjunto de todas las combinaciones lineales de v1,v2,…,vkv1,v2,…,vk se denomina el espacio generado de v1,v2,…,vkv1,v2,…,vk y se denotará gen(v1,v2,…,vk)gen(v1,v2,…,vk) o gen(S)gen(S). Si gen(S)=Rngen(S)=Rn, entonces se dice que SS es un conjunto generador para RnRn.

De acuerdo con la definición anterior, un vector v∈gen(v1,v2,…,vk)v∈gen(v1,v2,…,vk) si y solamente si el sistema de ecuaciones v=c1v1+c2v2+⋯+ckvkv=c1v1+c2v2+⋯+ckvk tiene al menos una solución. En el siguiente video exploramos geométricamente algunas opciones para los conjuntos generados.


Usualmente, el conjunto generado por un conjunto de vectores se puede describir utilizando restricciones en las coordenadas de los vectores como se muestra en el siguiente ejemplo a continuación.



Ejemplo: Encuentre el siguiente conjunto mediante restricciones en las las entradas de los vectores: H=gen([112],[123],[−2−3−5]).H=gen⎛⎜⎝⎡⎢⎣112⎤⎥⎦,⎡⎢⎣123⎤⎥⎦,⎡⎢⎣−2−3−5⎤⎥⎦⎞⎟⎠.
Solución: Caractericemos los elementos de H.H. Dado v=[b1b2b3]∈H,v=⎡⎢⎣b1b2b3⎤⎥⎦∈H, existen escalares c1,c2c1,c2 y c3c3 tales que [b1b2b3]=c1[112]+c2[123]+c3[−2−3−5]=[c1+c2−2c3c1+2c2−3c32c1+3c2−5c3].⎡⎢⎣b1b2b3⎤⎥⎦=c1⎡⎢⎣112⎤⎥⎦+c2⎡⎢⎣123⎤⎥⎦+c3⎡⎢⎣−2−3−5⎤⎥⎦=⎡⎢⎣c1+c2−2c3c1+2c2−3c32c1+3c2−5c3⎤⎥⎦. Igualando componentes, obtenemos c1+c2−2c3=b1c1+2c2−3c3=b22c1+3c2−5c3=b3.c1+c2−2c3=b1c1+2c2−3c3=b22c1+3c2−5c3=b3. Por lo tanto, v∈Hv∈H si y sólo si el sistema lineal anterior es consistente. Para determinar ésto, apliquemos eliminación Gaussiana: [11−2b112−3b223−5b3]R2−R1,R3−2R1⟶[11−2b101−1b2−b101−1b3−2b1]R3−R2⟶[11−2b101−1b2−b1000b3−b1−b2].⎡⎢ ⎢⎣11−2b112−3b223−5b3⎤⎥ ⎥⎦R2−R1,R3−2R1⟶⎡⎢ ⎢⎣11−2b101−1b2−b101−1b3−2b1⎤⎥ ⎥⎦R3−R2⟶⎡⎢ ⎢⎣11−2b101−1b2−b1000b3−b1−b2⎤⎥ ⎥⎦. Así tenemos que la única restricción es b3−b1−b2=0b3−b1−b2=0. De modo que H={[b1b2b3]∈R3|b3−b1−b2=0}.H=⎧⎪⎨⎪⎩⎡⎢⎣b1b2b3⎤⎥⎦∈R3∣∣ ∣∣b3−b1−b2=0⎫⎪⎬⎪⎭. Ejemplo: Encontrar lo siguiente:

  1. Un conjunto generador para R4.R4.
  2. gen([11],[21]).gen([11],[21]).

Solución:

  1. Notemos que en R4:R4: [xyzw]=x[1000]+y[0100]+z[0010]+w[0001]=xe1+ye2+ze3+we4.⎡⎢ ⎢ ⎢⎣xyzw⎤⎥ ⎥ ⎥⎦=x⎡⎢ ⎢ ⎢⎣1000⎤⎥ ⎥ ⎥⎦+y⎡⎢ ⎢ ⎢⎣0100⎤⎥ ⎥ ⎥⎦+z⎡⎢ ⎢ ⎢⎣0010⎤⎥ ⎥ ⎥⎦+w⎡⎢ ⎢ ⎢⎣0001⎤⎥ ⎥ ⎥⎦=xe1+ye2+ze3+we4. Luego, todo vector de R4R4 es combinación lineal de los vectores unitarios estándar e1,e2,e3e1,e2,e3 y e4.e4. Por consiguiente, {e1,e2,e3,e4}{e1,e2,e3,e4} es un conjunto generador para R4.R4.
  2. Afirmamos que R2=gen([11],[21]);R2=gen([11],[21]); esto es, {[11],[21]}{[11],[21]} es un conjunto generador para R2.R2.
    Debemos mostrar que un vector arbitrario [ab][ab] se puede escribir como combinación lineal de los vectores dados; es decir, mostremos que existen escalares c1c1 y c2c2 tales que [ab]=c1[11]+c2[21]⇒c1+2c2=ac1+c2=b.[ab]=c1[11]+c2[21]⇒c1+2c2=ac1+c2=b. Apliquemos eliminación de Gauss-Jordan para determinar si el anterior sistema lineal es consistente [12a11b]R2−R1→[12a0−1b−a]−R2→[12a01a−b]R1−2R1→[102b−a01a−b].[12a11b]R2−R1→[12a0−1b−a]−R2→[12a01a−b]R1−2R1→[102b−a01a−b]. Luego, el sistema de ecuaciones lineales anterior tiene solución única [ab]=(2b−a)[11]+(a−b)[21].[ab]=(2b−a)[11]+(a−b)[21].

Ejercicios de práctica

Te invitamos a practicar los conocimientos aprendidos en esta parte de la clase realizando los siguientes ejercicios.