1. Conjuntos Generadores

Recordemos que un vector $v$ es combinación lineal de los vectores $v_{1},v_{2},\ldots ,v_{k}$ si existen escalares $c_{1},c_{2},\ldots ,c_{k}$ tales que \[ v=c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}+\cdots +c_{k}v_{k}. \]
Definición: Sea $S=\{v_{1},v_{2},\ldots ,v_{k}\}$ un conjunto de vectores en $\mathbb{R}^{n}.$ El conjunto de todas las combinaciones lineales de $v_{1},v_{2},\ldots ,v_{k}$ se denomina el espacio generado de $v_{1},v_{2},\ldots,v_{k}$ y se denotará $\text{gen}\left(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{k}\right)$ o $\text{gen}(S)$. Si $\text{gen}(S)=\mathbb{R}^{n}$, entonces se dice que $S$ es un conjunto generador para $\mathbb{R}^{n}$.

De acuerdo con la definición anterior, un vector $v\in \text{gen}\left(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{k}\right)$ si y solamente si el sistema de ecuaciones $v=c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}+\cdots +c_{k}v_{k}$ tiene al menos una solución. En el siguiente video exploramos geométricamente algunas opciones para los conjuntos generados.

Usualmente, el conjunto generado por un conjunto de vectores se puede describir utilizando restricciones en las coordenadas de los vectores como se muestra en el siguiente ejemplo a continuación.

Ejemplo: Encuentre el siguiente conjunto mediante restricciones en las las entradas de los vectores: \[ H=\text{gen}\left( \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 2 \end{array} \right] , \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right] ,\left[ \begin{array}{c} -2 \\ -3 \\ -5 \end{array} \right] \right). \]
Solución: Caractericemos los elementos de $H.$ Dado $v=\left[ \begin{array}{c} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{array} \right] \in H,$ existen escalares $c_{1},c_{2}$ y $c_{3}$ tales que \begin{equation*} \left[ \begin{array}{c} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3}\end{array} \right] =c_{1}\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 2 \end{array} \right] + c_{2}\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right] + c_{3}\left[ \begin{array}{c} -2 \\ -3 \\ -5 \end{array}\right] =\left[ \begin{array}{c} c_{1}+c_{2}-2c_{3} \\ c_{1}+2c_{2}-3c_{3} \\ 2c_{1}+3c_{2}-5c_{3} \end{array} \right]. \end{equation*} Igualando componentes, obtenemos \begin{equation} \begin{array}{ccccccc} c_{1} & + & c_{2} & - & 2c_{3} & = & b_{1} \\ c_{1} & + & 2c_{2} & - & 3c_{3} & = & b_{2} \\ 2c_{1} & + & 3c_{2} & - & 5c_{3} & = & b_{3}. \end{array} \label{S1} \end{equation} Por lo tanto, $v\in H$ si y sólo si el sistema lineal anterior es consistente. Para determinar ésto, apliquemos eliminación Gaussiana: \begin{equation*} \left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & -2 & b_{1} \\ 1 & 2 & -3 & b_{2} \\ 2 & 3 & -5 & b_{3} \end{array} \right] \stackrel{R_{2}-R_{1},R_{3}-2R_{1}}{\longrightarrow}\left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & -2 & b_{1} \\ 0 & 1 & -1 & b_{2}-b_{1} \\ 0 & 1 & -1 & b_{3}-2b_{1} \end{array} \right] \stackrel{R_{3}-R_{2}}{\longrightarrow} \left[ \begin{array}{rrr|c}1 & 1 & -2 & b_{1} \\ 0 & 1 & -1 & b_{2}-b_{1} \\ 0 & 0 & 0 & b_{3}-b_{1}-b_{2} \end{array} \right]. \end{equation*} Así tenemos que la única restricción es $b_{3}-b_{1}-b_{2}=0$. De modo que \begin{equation*} H=\left.\left\{ \left[ \begin{array}{c} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{array} \right] \in \mathbb{R}^{3}\right| b_{3}-b_{1}-b_{2}=0\right\}. \end{equation*} Ejemplo: Encontrar lo siguiente:

1. Un conjunto generador para $\mathbb{R}^{4}.$
2. $\text{gen}\left( \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right] , \left[ \begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right] \right).$

Solución:

1. Notemos que en $\mathbb{R}^{4}:$ \begin{equation*} \left[ \begin{array}{r} x \\ y \\ z \\ w \end{array} \right] =x\left[ \begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right] +\;y\left[ \begin{array}{r} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right] +\;z\left[ \begin{array}{r} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right] +\;w\left[ \begin{array}{r} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right] =xe_{1}+\;ye_{2}+\;ze_{3}+\;we_{4}. \end{equation*} Luego, todo vector de $\mathbb{R}^{4}$ es combinación lineal de los vectores unitarios estándar $e_{1},e_{2},e_{3}$ y $e_{4}.$ Por consiguiente, $ \{e_{1},e_{2},e_{3},e_{4}\}$ es un conjunto generador para $\mathbb{R}^{4}.$
2. Afirmamos que $\mathbb{R}^{2}=\text{gen}\left( \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1\end{array} \right], \left[ \begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right] \right) ;$ esto es, $\left\{ \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right] , \left[ \begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right] \right\} $ es un conjunto generador para $\mathbb{R}^{2}.$
   Debemos mostrar que un vector arbitrario $\left[ \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right] $ se puede escribir como combinación lineal de los vectores dados; es decir, mostremos que existen escalares $c_{1}$ y $c_{2}$ tales que \begin{equation} \left[ \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right]= c_{1}\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right] + c_{2}\left[ \begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right] \qquad \Rightarrow \qquad \begin{array}{ccccc} c_{1} & + & 2c_{2} & = & a \\ c_{1} & + & c_{2} & = & b .\end{array} \end{equation} Apliquemos eliminación de Gauss-Jordan para determinar si el anterior sistema lineal es consistente \begin{equation*} \left[ \begin{array}{rr|r} 1 & 2 & a \\ 1 & 1 & b \end{array} \right] \overset{R_{2}-R_{1}}{\rightarrow } \left[ \begin{array}{rr|c} 1 & 2 & a \\ 0 & -1 & b-a \end{array} \right] \overset{-R_{2}}{\rightarrow } \left[ \begin{array}{rr|c} 1 & 2 & a \\ 0 & 1 & a-b \end{array} \right] \overset{R_{1}-2R_{1}}{\rightarrow } \left[ \begin{array}{rr|c} 1 & 0 & 2b-a \\ 0 & 1 & a-b \end{array} \right]. \end{equation*} Luego, el sistema de ecuaciones lineales anterior tiene solución única \begin{equation*} \left[ \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right] =\left( 2b-a\right) \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right] +\left( a-b\right) \left[ \begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right]. \end{equation*}

Ejercicios de práctica

Te invitamos a practicar los conocimientos aprendidos en esta parte de la clase realizando los siguientes ejercicios.