2. Dependencia e independencia lineal

Definición: Un conjunto de vectores $v_{1},v_{2},\ldots ,v_{k}$ es linealmente dependiente (L. D.) si existen escalares $c_{1},c_{2},\ldots ,c_{k},$ no todos iguales a cero, tales que \begin{equation*} c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}+\cdots +c_{k}v_{k}=0. \end{equation*} Un conjunto de vectores que no es linealmente dependiente se denomina linealmente independiente (L.I.). En otras palabras, un conjunto de vectores $v_{1},v_{2},\ldots ,v_{k}$ es L. I. si la única solución del sistema de ecuaciones lineales homogéneo \begin{equation*} c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}+\cdots +c_{k}v_{k}=0 \end{equation*} es la solución trivial $c_{1}=0,\dots, c_{k}=0$.

Nota: La anterior definición se puede pensar de la siguiente manera alternativa: Los vectores $v_{1},v_{2},\ldots ,v_{m}$ en $\mathbb{R}^{n}$ son L.D. si y sólo si al menos uno de los vectores puede ser expresado como una combinación lineal de los otros. Esta definición es geométricamente más intuitiva, sin embargo, para verificar algebraicamente si un conjunto de vectores dado es L.D. o L.I. es más cómodo utilizar la primera definición.

Ejemplo: Para cada uno de los siguientes conjuntos determinar si es L.D. o L.I.

1. $S=\left\{ \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right] , \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right] , \left[ \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right] , \left[ \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 2 \\ 2 \end{array} \right] \right\}.$
2. $T=\left\{ \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{array} \right] , \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 3 \\ 0 \end{array} \right] , \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right] \right\}.$

Solución:

1. Sean $c_{1},c_{2},c_{3}$ y $c_{4}$ escalares reales tales que \begin{equation*} c_{1}\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right] +c_{2}\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right] +c_{3}\left[ \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right] +c_{4}\left[ \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 2 \\ 2 \end{array} \right]= \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right]. \end{equation*} Sumando e igualando componente a componente, se obtiene el sistema lineal homogéneo \begin{equation} \begin{array}{ccccccccc} c_{1} & + & c_{2} & + & 2c_{3} & + & 2c_{4} & = & 0 \\ c_{1} & & & + & c_{3} & + & 2c_{4} & = & 0 \\ c_{1} & + & c_{2} & + & 2c_{3} & + & 2c_{4} & = & 0 \\ c_{1} & & & + & c_{3} & + & 2c_{4} & = & 0 .\end{array} \end{equation} En resumen, el conjunto de vectores es L.I. si el anterior sistema homogéneo tiene solución única y es L.D. si el sistema tiene infinitas soluciones. Aplicando eliminación de Gauss-Jordan: \begin{equation*} \left[ \begin{array}{rrrr|r} 1 & 1 & 2 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 2 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 2 & 0 \end{array} \right] \overset{R_{3}-R_{1},R_{4}-R_{2}}{\rightarrow } \left[ \begin{array}{rrrr|r} 1 & 1 & 2 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right] \overset{R_{2}-R_{1}}{\rightarrow } \left[ \begin{array}{rrrr|r}1 & 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right]. \end{equation*} Dado que hay dos variables libres y el sistema es homogéneo, el sistema anterior tiene infinitas soluciones. Por tanto el conjunto $S$ es linealmente dependiente.
2. Sean $c_{1},c_{2}$ y $c_{3}$ escalares reales tales que \begin{equation*} c_{1}\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4\end{array} \right] +c_{2}\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 3 \\ 0 \end{array} \right]+ c_{3}\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right]. \end{equation*} Sumando e igualando componente a componente, tenemos \begin{equation} \begin{array}{ccccccc} c_{1} & + & c_{2} & + & c_{3} & = & 0 \\ 2c_{1} & & & & & = & 0 \\ 3c_{1} & + & 3c_{2} & & & = & 0 \\ 4c_{1} & & & + & c_{3} & = & 0 .\end{array} \end{equation} Apliquemos eliminación de Gauss-Jordan, para ver si el sistema homogéneo anterior tiene solución única o infinitas soluciones: \begin{equation*} \left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 3 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right] \rightarrow \cdots \rightarrow \left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right]. \end{equation*} Así, el sistema anterior tiene solución única. Por tanto, el conjunto $T$ es linealmente independiente.

Nota: Si un conjunto de vectores contiene al vector $0$, entonces este conjunto es automaticamente L. D.

Supongamos ahora que $v_{1}, v_{2},\dots, v_{m}$ son vectores en $\mathbb{R}^{n}$. Entonces $v_{1}, v_{2},\dots, v_{m}$ son L. I. si y solamente si el sistema de ecuaciones homogéneo \[ c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}+\cdots+c_{m}v_{m}=0 \] tiene como única solución la solución trivial $c_{1}=c_{2}=\cdots=c_{m}=0$. La matriz aumentada asociada a este sistema es la matriz $[A|0]$, donde $A$ es la matriz cuyas columnas son los vectores $v_{1}, v_{2},\dots, v_{m}$. En esta situación utilizaremos la notación $A=[v_{1}|v_{2}|\cdots |v_{m}]$. Como este sistema es un sistema homogéneo entonces el sistema es consistente. Por el teorema del rango, este sistema tiene solución única si y solamente si \[ \#\left( \text{variables libres}\right)= m-\text{Rango}(A)=0, \] es decir, $m=\text{Rango}(A)$. Adicionalmente, el sistema tiene infinitas soluciones si \[ \#\left( \text{variables libres}\right)= m-\text{Rango}(A) >0, \] es decir, si $m> \text{Rango}(A)$. Esto demuestra el siguiente teorema.

Teorema: Sean $v_{1}, v_{2},\dots, v_{m}$ vectores en $\mathbb{R}^{n}$ y $A=[v_{1}|v_{2}|\cdots |v_{m}]$. Entonces los vectores $v_{1}, v_{2},\dots, v_{m}$ son L.I. si $\text{Rango}(A)=m$ y los vectores $v_{1}, v_{2},\dots, v_{m}$ son L.D. si $\text{Rango}(A)< m$

Como aplicación del anterior teorema tenemos el siguiente interesante resultado.

Teorema: Si $m>n,$ entonces cualquier conjunto de vectores $v_{1}, v_{2},\dots, v_{m}$ en $\mathbb{R}^{n}$ es linealmente dependiente.

Ejercicios de práctica

Te invitamos a practicar los conocimientos aprendidos en esta parte de la clase realizando los siguientes ejercicios.