1. Asignación de Recursos

En general un problema de asignación de recursos consiste en encontrar la forma de asignar ciertos recursos disponibles (por ejemplo comida, personas o máquinas) para la realización de determinadas tareas. En estos problemas de asignación de recursos vamos a suponer que todos los recursos disponibles van a ser utilizados. En la solución de este tipo de problemas encontramos naturalmente sistemas de ecuaciones lineales. Un ejemplo típico de esta situación se presenta a continuación.

Ejemplo: Tres compuestos se combinan para formar tres tipos de fertilizantes. Una unidad del fertilizante del tipo $I$ requiere $10$ kg del compuesto $A$, $10$ kg del $B$ y $20$ kg del $C$; una unidad del fertilizante del tipo $II$ requiere $30$ kg del compuesto $A$, $40$ kg del $B$ y $50$ kg del $C$; una unidad del fertilizante del tipo $III$ requiere $20$ kg del compuesto $A$, $10$ kg del $B$ y $50$ kg del $C$. Supongamos que hay disponible $250000$ kg del compuesto $A$, $200000$ kg del compuesto $B$ y $550000$ kg del compuesto $C$. Se desea saber cuántas unidades de cada tipo de fertilizante se pueden producir si se usa todo el material químico disponible.

1. Plantee un sistema de ecuaciones lineales que permita resolver el problema. Defina claramente las variables a utilizar.
2. Encuentre un intervalo, para cada variable libre, donde las soluciones tienen sentido.
3. Si se tiene la cantidad mínima del fertilizante del tipo $III$ ¿Cuántas unidades de cada tipo de fertilizante se puede producir?

Solución:

1. Definimos las variables como $$\begin{eqnarray*} x &=&\text{número de unidades de fertilizante tipo I que se produce usando todo el material químico disponible.} \\ y &=&\text{número de unidades de fertilizante tipo II que se produce usando todo el material químico disponible.} \\ z &=&\text{número de unidades de fertilizante tipo III que se produce usando todo el material químico disponible.} \end{eqnarray*}$$ Entonces, al utilizar todo el material químico disponible, obtenemos las ecuaciones $$\begin{equation} \begin{array}{ccccccc} 10x & + & 30y & + & 20z & = & 250000 \\ 10x & + & 40y & + & 10z & = & 200000 \\ 20x & + & 50y & + & 50z & = & 550000. \end{array} \end{equation}$$
2. Primero, hallemos el conjunto solución del anterior sistema de ecuaciones. La matriz aumentada asociada al sistema y su respectiva matriz reducida se muestran a continuación $$\begin{align} \left[ \begin{array}{lll|l} 10 & 30 & 20 & 250000 \\ 10 & 40 & 10 & 200000 \\ 20 & 50 & 50 & 550000 \end{array} \right] &\stackrel{(0.1)R_{1},(0.1)R_{2},(0.1)R_{3}}{\longrightarrow} \left[ \begin{array}{lll|l} 1 & 3 & 2 & 25000 \\ 1 & 4 & 1 & 20000 \\ 2 & 5 & 5 & 55000 \end{array} \right] \stackrel{R_{2}-R_{1},R_{3}-2R_{1}}{\longrightarrow} \left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 3 & 2 & 25000 \\ 0 & 1 & -1 & -5000 \\ 0 & -1 & 1 & 5000 \end{array} \right] \\ &\stackrel{R_{3}+R_{2}}{\longrightarrow}\left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 3 & 2 & 25000 \\ 0 & 1 & -1 & -5000 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right] \stackrel{R_{1}-3R_{2}}{\longrightarrow} \left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 5 & 40000 \\ 0 & 1 & -1 & -5000 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right]. \end{align}$$ Por lo tanto, $$\begin{equation*} x=40000-5z, \ y=-5000+z \text{ y } z\text{ es una variable libre.} \end{equation*}$$ Por otro lado, cada una de las variables del sistema deben ser enteros positivos, así tenemos las siguientes restricciones para las soluciones: $$\begin{equation*} 40000-5z\geq 0,\ \ -5000+z\geq 0\ \ \text{y}\ \ z\geq 0. \end{equation*}$$ De donde, $$\begin{equation*} 8000\geq z,\ \ z\geq 5000\ \ \text{y}\ \ z\geq 0. \end{equation*}$$ Luego, $z$ es un entero entre $5000$ y $8000$.
3. La cantidad mínima de fertilizante tipo $III$ es de $5000.$ Luego, si se obtiene dicha cantidad se deben tener $15000$ unidades de fertilizante tipo $I$ y $0$ unidades de fertilizante tipo $II$.

Ejercicios de práctica

Te invitamos a practicar los conocimientos aprendidos en esta parte de la clase realizando los siguientes ejercicios.