2. Análisis de redes

Para nosotros, una red se compondrá de un número finito de nodos (también llamados uniones o vértices) conectados por una serie de líneas dirigidas conocidas como ramas (o arcos). Cada rama estará etiquetada con un flujo que representa la dirección indicada. Este tipo de redes aparecen de manera natural en el estudio de flujos vehiculares y en problemas de transporte. La regla fundamental que gobierna el flujo a través de una red es la regla de conservación del flujo:

Utilizando esta regla fundamental en cada nodo de la red obtenemos un sistema de ecuaciones lineales que nos permite analizar las distintas opciones que se tienen para los distintos flujos de la red.

Ejemplo: Consideremos la siguiente red de transporte.

1. Establezca y resuelva un sistema de ecuaciones lineales para encontrar los flujos posibles en la red de la figura anterior.
2. Con respecto a las soluciones halladas en 1. indique, para cada variable libre, un intervalo en el cual puede tomar valores para que dichas soluciones tengan sentido en el problema.
3. Halle los valores de $x_{1},x_{2},x_{3}$ y $x_{4}$ de tal forma que se obtenga el máximo flujo vehicular en la rama $\overline{\text{BD}}.$

Solución:

1. Aplicando la regla de conservación de flujo en cada nodo se obtienen el siguiente sistema lineal: \begin{equation*} \begin{array}{llcl} \text{Nodo} & \text{ Flujo que entra } & = & \text{ Flujo que sale }\\ A: & x_{1}+x_{4} & = & 600+800 \\ B: & 600+500 & = & x_{1}+x_{2} \\ C: & 700+300 & = & x_{3}+x_{4} \\ D: & x_{2}+x_{3} & =& 400+300. \end{array} \end{equation*} Podemos resolver este sistema de ecuaciones utilizando eliminación Gaussiana de la siguiente manera: \begin{align*} \left[ \begin{array}{rrrr|r} 1 & 0 & 0 & 1 & 1400 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 1100 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1000 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 700 \end{array} \right] &\stackrel{R_{2}-R_{1}}{\longrightarrow} \left[ \begin{array}{rrrr|r} 1 & 0 & 0 & 1 & 1400 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & -300 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1000 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 700 \end{array} \right] \stackrel{R_{4}-R_{2}}{\longrightarrow} \left[ \begin{array}{rrrr|r} 1 & 0 & 0 & 1 & 1400 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & -300 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1000 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1000 \end{array} \right]\\ &\stackrel{R_{4}-R_{3}}{\longrightarrow} \left[ \begin{array}{rrrr|r} 1 & 0 & 0 & 1 & 1400 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & -300 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1000 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right] . \end{align*} Por tanto, \begin{equation*} \begin{array}{llllllllll} x_{1}=1400-x_{4}, & & & x_{2}=-300+x_{4} & & & x_{3}=1000-x_{4} & & & x_{4} \text{ es una variable libre.} \end{array} \end{equation*}
2. La única variable libre del sistema es $x_{4}$. Por otro lado, $x_{1},x_{2},x_{3}$ y $x_{4}$ designan flujo vehicular y, por ende, son cantidades positivas. Luego, \begin{equation*} \begin{array}{llllllll} 1400-x_{4}\geq 0 & \Leftrightarrow & 1400\geq x_{4} & & & 1000-x_{4}\geq 0 & \Leftrightarrow & 1000\geq x_{4} \\ -300+x_{4}\geq 0 & \Leftrightarrow & x_{4}\geq 300 & & & x_{4}\geq 0. \end{array} \end{equation*} Así, $x_{4}$ es un número entero entre $300$ y $1000$.
3. Puesto que $x_{2}=-300+x_{4}$, entonces cuando $x_{4}=300$ se tiene $ x_{2}=0$ y cuando $x_{4}=1000$ se tiene $x_{2}=700.$ Así que el má ximo valor para $x_{2}$ es $700$ y se obtiene al tomar $x_{4}=1000.$ En este caso la distribución de flujos en las víaas debe ser \begin{equation*} \begin{array}{lllllllllll}x_{1}=400, & & & x_{2}=700, & & & x_{3}=0 & & y & & x_{4}=1.000. \end{array} \end{equation*}

Ejercicios de práctica

Te invitamos a practicar los conocimientos aprendidos en esta parte de la clase realizando los siguientes ejercicios.