1. Determinantes

Definición: El determinante de una matriz $A$ de tamaño $2\times 2$ se define como el escalar \begin{equation*} \det A=\left\vert A\right\vert = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} =ad-bc. \end{equation*}

Definición: Sea $A=\left[ a_{ij}\right] $ una matriz de tamaño $n\times n,$ donde $ n\geq 2$.

1. Definimos el $ij$-ésimo menor de $A$, denotado por $A_{ij}$, como la matriz de tamaño $\left( n-1\right) \times \left( n-1\right) $ obtenida al eliminar de $A$ la $i$-ésima fila y la $j$-ésima columna.
2. El $ij$-ésimo cofactor de $A$ es el escalar \begin{equation*} C_{ij}=\left( -1\right) ^{i+j}\det \left( A_{ij}\right). \end{equation*}
3. El determinante de $A$ es el escalar \begin{equation*} \det \left( A\right) =a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+\cdots +a_{1n}C_{1n}. \end{equation*} A la anterior ecuación se le conoce como el desarrollo por cofactores a lo largo de la primera fila.

Teorema: (Teorema de la Expansión de Laplace) El determinante de una matriz $n\times n,$ $A=\left[ a_{ij}\right],$ se puede ser calcular

• Expandiendo por cofactores a lo largo de la fila $i$-ésima $\det \left( A\right) =a_{i1}C_{i1}+a_{i2}C_{i2}+\cdots +a_{in}C_{in}$
• También se puede expandiendo por cofactores a lo largo de la columna $j$-ésima $\det \left( A\right) =a_{1j}C_{1j}+a_{2j}C_{2j}+\cdots +a_{nj}C_{nj}.$

Ejemplo: Calculemos el determinante de la matriz \begin{equation*} A=\left[ \begin{array}{rrrr} 2 & 1 & 4 & 3 \\ 3 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 5 & 3 \\ 0 & 3 & 1 & 0 \end{array} \right] \end{equation*} expandiendo por cofactores a lo largo de la segunda fila y a lo largo de la cuarta columna.

Solución: Expandiendo a lo largo de la segunda fila obtenemos lo siguiente: \[ \left\vert A\right\vert = -3\cdot \left\vert \begin{array}{lll} 1 & 4 & 3 \\ 1 & 5 & 3 \\ 3 & 1 & 0 \end{array} \right\vert +1\cdot \left\vert \begin{array}{lll} 2 & 4 & 3 \\ 2 & 5 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right\vert = -3\cdot \left[ 3 \begin{vmatrix} 4 & 3 \\ 5 & 3 \end{vmatrix} -1 \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} \right] + \left[ -1 \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} \right] = -9\cdot \left( -3\right) =27. \] Ahora a lo largo de la cuarta columna se obtiene \begin{align*} \left\vert A\right\vert &=-3\left\vert \begin{array}{lll} 3 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 5 \\ 0 & 3 & 1 \end{array} \right\vert - 3\left\vert \begin{array}{lll} 2 & 1 & 4 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \end{array} \right\vert =-3\left[ 3 \begin{vmatrix} 1 & 5 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} -1\begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}\right] -3\left[ 4 \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} \right]\\ &=-3\left( -42-2\right) -3\left( 36-1\right) =-3\cdot( -44)-3\cdot 35=132-105=27. \end{align*}

Ejemplo: Calculemos el determinante de la siguiente matriz $\left[ \begin{array}{cccc} 5 & 1 & 4 & 3 \\ 0 & 2 & 5 & 3 \\ 0 & 0 & 7 & 9 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}\right]$.

Solcuión: Este determinante se puede calcular expandiendo a lo largo de la primera columna en repetidas ocasiones como se muestra a continuación: \begin{equation*} \left\vert \begin{array}{cccc} 5 & 1 & 4 & 3 \\ 0 & 2 & 5 & 3 \\ 0 & 0 & 7 & 9 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}\right\vert =5\cdot \left\vert \begin{array}{ccc} 2 & 5 & 3 \\ 0 & 7 & 9 \\ 0 & 0 & 3 \end{array} \right\vert =5\cdot 2\cdot \left\vert \begin{array}{cc} 7 & 9 \\ 0 & 3 \end{array} \right\vert= 5\cdot 2\cdot \left( 7\cdot 3-9\cdot 0\right) =5\cdot 2\cdot 7\cdot 3=210. \end{equation*}
Observación: La idea anterior se puede utilizar en general para calcular el determinante de una matriz triangular. Solamente para este tipo de matrices el determinante se puede calcular como el producto de las entradas de su diagonal principal. Por ejemplo $\det I_{n}=1$ y $\det O_{n}=0.$

Ejemplo: Calcule $\det (B)$ para la matriz \begin{equation*} B=\left[ \begin{array}{rrrr}1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & -2 & 3 & 6 \\ 1 & 2 & -3 & 4 \end{array} \right]. \end{equation*}
Solución: Es más sencillo, tomar la expansión por cofactores a lo largo de la segunda fila: \begin{align*} \left\vert B\right\vert &= \left( +1\right) \left\vert \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 1 \\ -1 & 3 & 6 \\ 1 & -3 & 4 \end{array} \right\vert =1\cdot \left\vert \begin{array}{rr}3 & 6\\ -3 & 4 \end{array} \right\vert - 1\cdot \left\vert \begin{array}{rr}-1 & 6 \\ 1 & 4 \end{array} \right\vert + 1\cdot \left\vert \begin{array}{rr} -1 & 3\\ 1 & -3 \end{array} \right\vert \\ &= \left( 12-\left( -18\right) \right) -\left( -4-6\right) + \left( 3-3\right) =30 - \left(- 10\right) +0 =40. \end{align*}

Ejercicios de práctica

Te invitamos a practicar los conocimientos aprendidos en esta parte de la clase realizando los siguientes ejercicios.