2. Propiedades de los determinantes

Teorema: Sea $A=\left[ a_{ij}\right]$ una matriz cuadrada.

1. Si $A$ tiene una fila (columna) nula, entonces $\det \left( A\right) =0$.
2. Si $B$ se obtiene al intercambiar dos filas (columnas) de $A,$ entonces $\det \left( B\right) =-\det \left( A\right)$
3. Si $A$ tiene dos filas (columnas) idénticas, entonces $\det \left( A\right) =0$.
4. Si $B$ se obtiene al multiplicar una fila (columna) de $A$ por $k,$ entonces $\det \left( B\right) =k\det \left( A\right)$.
5. Si $A$, $B$ y $C$ son matrices idénticas excepto que la $i$-ésima fila (columna) de $C$ es la suma de las $i$-ésimas filas (columnas) de $A$ y $B,$ entonces $\det \left( C\right) =\det \left( A\right) +\det \left( B\right)$
6. Si $B$ se obtiene al sumar un múltiplo de una fila (columna) de $A$ a otra fila (columna) de $A,$ $\det \left( B\right) =\det \left( A\right) .$

Ejemplo: Calcule el determinante de $\left[ \begin{array}{rrr} 2 & 8 & 2 \\ 1 & 7 & -1 \\ -2 & -2 & 1\end{array} \right]$ usando las anteriores propiedades.

Solución: $\left\vert \begin{array}{rrr} 2 & 8 & 2 \\ 1 & 7 & -1 \\ -2 & -2 & 1 \end{array} \right\vert \overset{R_{1}\leftrightarrow R_{2}}{=} -\left\vert \begin{array}{rrr} 1 & 7 & -1 \\ 2 & 8 & 2 \\ -2 & -2 & 1 \end{array} \right\vert \underset{R_{3}+2R_{1}}{\overset{R_{2}-2R_{1}}{=}} -\left\vert \begin{array}{rrr} 1 & 7 & -1 \\ 0 & -6 & 4 \\ 0 & 12 & -1 \end{array} \right\vert \overset{R_{3}+2R_{2}}{=}-\left\vert \begin{array}{rrr} 1 & 7 & -1 \\ 0 & -6 & 4 \\ 0 & 0 & 7 \end{array} \right\vert =42.$

Ejemplo: Sea $A=\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 6 & 5 \\ \frac{3}{5} & 2 & \frac{1}{2} \end{array} \right].$ Se puede calcular que $\det \left( A\right) =\dfrac{41}{5}$ ( Esto se deja como ejercicio). Calculemos los siguientes determinantes

• $\left\vert \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ \frac{3}{5} & 2 & \frac{1}{2} \\ 4 & 6 & 5 \end{array} \right\vert =-\left\vert \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 6 & 5 \\ \frac{3}{5} & 2 & \frac{1}{2} \end{array} \right\vert =-\dfrac{41}{5}.$
• $\left\vert \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 9 & 16 & 20 \\ \frac{3}{5} & 2 & \frac{1}{2} \end{array} \right\vert =\left\vert \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4+5 & 6+10 & 5+15 \\ \frac{3}{5} & 2 & \frac{1}{2} \end{array} \right\vert = \left\vert A\right\vert =\frac{41}{5}.$
• $\left\vert \begin{array}{ccc} 5 & 2 & 3 \\ 45 & 16 & 20 \\ 3 & 2 & \frac{1}{2} \end{array} \right\vert =\left\vert \begin{array}{lcc} 5\cdot 1 & 2 & 3 \\ 5\cdot 9 & 16 & 20 \\ 5\cdot \frac{3}{5} & 2 & \frac{1}{2} \end{array} \right\vert =5\left\vert A\right\vert =41.$
• $\left\vert \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 9 & 16 & 20 \\ \frac{3}{10} & 1 & \frac{1}{4} \end{array} \right\vert =\left\vert \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 9 & 16 & 20 \\ \frac{1}{2}\cdot \frac{3}{5} & \frac{1}{2}\cdot 2 & \frac{1}{2}\cdot \frac{1 }{2} \end{array} \right\vert =\dfrac{1}{2}\left\vert A\right\vert =\dfrac{41}{10}.$

Corolario: Si $A$ es una matriz de tamaño $n\times n,$ entonces $\det \left( kA\right) =k^{n}\det \left( A\right).$

Teorema: Sean $A$ y $B$ matrices de tamaño $n\times n.$ Entonces

1. $\det \left( AB\right) =\det \left( A\right) \det \left( B\right).$
2. $\det \left( A\right) =\det \left( A^{T}\right).$

Ejemplo: Sean $A$ y $B$ matrices $4\times 4$ tal que $\det A=2$ y $\det B=20.$ Calcule

1. $\det \left( BA^{T}\right).$
2. $\det \left( A^{3}\right).$
3. $\det \left( 2AB\right).$

Solución:

1. $\det \left( BA^{T}\right) \;=\;\det B\det A^{T}\;=\;\det B\det A\;=\;20\cdot 2=40$.
2. $\det \left( A^{3}\right) \;=\;\det \left( AAA\right) \;=\;\det A\cdot \det A\cdot \det A\;=\;\left( \det A\right) ^{3} \;=\;2^{3}=8.$
3. $\det \left( 2AB\right) \;=\;2^{4}\det \left( A\right) \det B\;=\;32\cdot 20=640.$

Ejercicios de práctica

Te invitamos a practicar los conocimientos aprendidos en esta parte de la clase realizando los siguientes ejercicios.