1. Inversa de una matriz

Definición: Si $A$ es una matriz $n\times n,$ la inversa de $A$, en caso de existir, es una matriz $A^{\prime}$ con la propiedad que $$\begin{equation*} AA^{\prime }=A^{\prime }A=I_{n}. \end{equation*}$$ Si tal $A^{\prime }$ existe, entonces se dice que $A$ es invertible.

Teorema: Si $A$ es invertible, entonces su inversa es única.

Prueba: Sea $A$ una matriz invertible. Supongamos que $A^{\prime }$ y $A^{\prime \prime }$ son dos inversas de $A.$ Entonces $$\begin{equation*} AA^{\prime }=A^{\prime }A=I_{n}\qquad \text{y} \qquad A^{\prime \prime }A=AA^{\prime \prime }=I_{n}. \end{equation*}$$ Luego, $$\begin{equation*} A^{\prime }=A^{\prime }I_{n}=A^{\prime }\left( AA^{\prime \prime }\right) = \left( A^{\prime }A\right) A^{\prime \prime } =I_{n}A^{\prime \prime }=A^{\prime \prime }. \end{equation*}$$ Por tanto, $A^{\prime }=A^{\prime \prime }.$ Así, la inversa de $A$ es única.

Notación: Si $A$ es invertible, su inversa se denotará por $A^{-1}.$

Podemos determinar cuando una matriz es invertible utilizando el siguiente teorema.

Teorema: Una matriz cuadrada $A$ es invertible si y sólo si $\det \left( A\right) \neq 0.$ Además si $A$ es invertible, entonces $\text{det}(A^{-1})=\frac{1}{\text{det}(A)}.$

Ejemplo: Consideremos una matriz cuadrada de la forma $A=\left[ \begin{array}{rrr} a & b \\ c & d \end{array} \right]$. Esta matriz es invertible precisamente cuando $\text{det}(A)=ad-bc\ne 0$. En este caso se tiene que
$$A^{-1}=\frac{1}{det(A)}\left[ \begin{array}{rrr} d & -b \\ -c & a \end{array} \right].$$ Cuando una matriz $A$ es invertible podemos resolver un sistema de ecuaciones lineales de la forma $AX=b$ utilizando la matriz inversa como se muestra a continuación.

Teorema: Si $A$ es una matriz invertible de $n\times n,$ entonces el sistema de ecuaciones lineales dado por $AX=b$ tiene una solución única dada por $X=A^{-1}b.$

Propiedades de las matrices invertibles

Teorema: Sea $A$ una matriz invertible. Entonces

1. La matriz $A^{-1}$ es invertible y $\left( A^{-1}\right) ^{-1}=A.$
2. Si $c$ es un escalar diferente de cero, entonces $cA$ es invertible y $\left( cA\right) ^{-1}=\frac{1}{c}A^{-1}.$
3. Si $B$ es otra matriz invertible del mismo tamaño de $A,$ entonces $AB$ es invertible y $\left( AB\right) ^{-1}=B^{-1}A^{-1}$.
4. La matriz $A^{T}$ es invertible y $\left( A^{T}\right) ^{-1}=\left( A^{-1}\right) ^{T}.$
5. Para todo entero no negativo $k:A^{k}$ es invertible y $\left( A^{k}\right) ^{-1}=\left( A^{-1}\right) ^{k}.$

Ejercicio: Muestre que si $A_{1},A_{2},...,A_{n}$ son matrices invertibles, entonces $A_{1}A_{2}\cdots A_{n}$ también es invertible y $$\left( A_{1}A_{2}\cdots A_{n}\right) ^{-1}=A_{n}^{-1}\cdots A_{2}^{-1}A_{1}^{-1}.$$

Teorema: Sea $A$ una matriz $n\times n.$ Si $B$ es una matriz $n\times n$ tal que $$\begin{equation*} AB=I_{n}\qquad o\qquad BA=I_{n}, \end{equation*}$$ entonces $A$ es invertible y $A^{-1}=B.$ 

Ejercicios de práctica

Te invitamos a practicar los conocimientos aprendidos en esta parte de la clase realizando los siguientes ejercicios.