2. Método de Gauss Jordan

Sea $A$ una matriz cuadrada. Para decidir si $A$ es invertible, aplicamos operaciones elementales de fila para obtener la forma escalonada reducida de la matriz. Tenemos que la forma escalonada reducida de $A$ es la matriz identidad $I$ si y sólo si la matriz $A$ es invertible. Más aún, si la matriz es invertible, las mismas operaciones fila, realizadas para obtener la forma reducida de $A,$ transforman la identidad en $A^{-1}.$ Así, obtenemos el siguiente procedimiento para decidir si $A$ es invertible y, en caso afirmativo, hallar su inversa.

Método de Gauss-Jordan para calcular inversas

Podemos calcular la inversa de una matriz invertible $A$ siguiendo los siguientes pasos:

1. Aplique eliminación de Gauss-Jordan al sistema $\left[ A\mid I\right]$ para llevarlo a un sistema reducido de la forma $\left[ R\mid B\right]$.
2. $R=I,$ entonces la matriz $A$ es invertible y $B=A^{-1}$.
3. Si $R\neq I,$ entonces $A$ no es invertible.

Ejemplo: Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales $$\begin{equation*} \begin{array}{rrrrrrr} x & - & 2y & - & z & = & 1 \\ 2x & - & 2y & & & = & 1 \\ 2x & & & + & 3z & = & 1 .\end{array} \end{equation*}$$

1. Escriba el sistema lineal anterior en la forma $AX=b.$
2. ¿Es la matriz $A$ invertible? En caso afirmativo, halle $A^{-1}$.
3. Use el literal 2. y encuentre la solución del sistema.

Solución:

1. La matriz de coeficientes es $A=\left[ \begin{array}{rrr} 1 & -2 & -1 \\ 2 & -2 & 0 \\ 2 & 0 & 3 \end{array} \right],$ el vector de variables es $X=\left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right]$ y el vector de términos independientes $b=\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right].$ De este modo, el sistema se puede escribir como $AX=b.$
2. Apliquemos el método de Gauss-Jordan: $$\begin{align*} \left[ \begin{array}{rrr|rrr}1 & -2 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 3 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right] &\overset{R_{2}-2R_{1}}{\longrightarrow } \left[ \begin{array}{rrr|rrr} 1 & -2 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & -2 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 3 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \overset{R_{3}-2R_{1}}{\longrightarrow } \left[ \begin{array}{rrr|rrr} 1 & -2 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 &2 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 4 & 5 & -2 & 0 & 1 \end{array} \right]\\ & \overset{R_{3}-2R_{2}}{\longrightarrow } \left[ \begin{array}{rrr|rrr} 1 & -2 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & -2 & 1 \end{array} \right]\overset{\frac{1}{2}R_{2}}{\longrightarrow } \left[ \begin{array}{rrr|rrr} 1 & -2 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & -1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & -2 & 1 \end{array} \right] \\ & \overset{R_{2}-R_{3}}{\longrightarrow } \left[ \begin{array}{rrr|rrr} 1 & -2 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -3 & \frac{5}{2} & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & -2 & 1 \end{array} \right] \overset{R_{1}+R_{3}}{\longrightarrow } \left[ \begin{array}{rrr|rrr}1 & -2 & 0 & 3 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -3 & \frac{5}{2} & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & -2 & 1 \end{array} \right]\\ & \overset{R_{1}+2R_{2}}{\longrightarrow } \left[ \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 0 & 0 & -3 & 3 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & -3 & \frac{5}{2} & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & -2 & 1 \end{array} \right]= \left[ I_{3}\mid A^{-1}\right]. \end{align*}$$ Por lo tanto, $A$ es invertible y además $A^{-1}=\left[ \begin{array}{rrr} -3 & 3 & -1 \\ -3 & \frac{5}{2} & -1 \\ 2 & -2 & 1 \end{array} \right].$
3. El numeral 3 se deja como ejercicio.

Ejemplo: Determine si $B=\left[ \begin{array}{rrr} 1 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 5 \\ -2 & 3 & -5 \end{array} \right]$ es invertible.

Solución: Este problema lo podemos resolver de dos maneras distintas. Una manera es demostrar que $\text{det}(B)\ne 0$. Este método se deja como ejercicio. Otra posible opción es aplicar el método de Gauss-Jordan: $$\begin{align*} \left[ \begin{array}{rrr|rrr} 1 & -1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & -2 & 5 & 0 & 1 & 0 \\ -2 & 3 & -5 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right] & \underset{R_{3}+2R_{1}}{\overset{R_{2}-3R_{1}}{\longrightarrow }} \left[ \begin{array}{rrr|rrr} 1 & -1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & -3 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 2 & 0 & 1 \end{array} \right] \overset{R_{3}-R_{2}}{\longrightarrow } \left[ \begin{array}{rrr|rrr} 1 & -1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & -3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -1 & 1 \end{array} \right] \\ & \overset{R_{1}+R_{2}}{\longrightarrow } \left[ \begin{array}{rrr|rrr}1 & 0 & 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & -3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -1 & 1 \end{array} \right] . \end{align*}$$ La forma escalonada reducida de $B$ no es $I_{3}$ (recuerde que ésta es única). Por lo tanto, $B$ no es invertible.

Ejercicios de práctica

Te invitamos a practicar los conocimientos aprendidos en esta parte de la clase realizando los siguientes ejercicios.