1. Bases

Definición: Una base para un subespacio $S$ de $\mathbb{R}^{n}$ es un conjunto $\mathcal{B}$ de vectores en $S$ tal que

1. $S=\text{gen}\left( \mathcal{B}\right)$, es decir, los vectores de $\mathcal{B}$ generan a $S$,
2. $\mathcal{B}$ es linealmente independiente.

Ejemplo: Una base para $\mathbb{R}^{n}$ es el conjunto $\left\{ e_{1},e_{2},\ldots ,e_{n}\right\} ,$ donde $e_{i}=\left[ \begin{array}{c} 0\\ \vdots \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{array} \right].$ Esta base es llamada la base canónica de $\mathbb{R}^{n}$.

Ejemplo: Muestre que el conjunto $\mathcal{B}=\left\{ v_{1}=\left[ \begin{array}{r} 1 \\ 2 \end{array} \right] , v_{2}=\left[ \begin{array}{r} -1 \\ -3 \end{array} \right] \right\}$ es una base para $\mathbb{R}^{2}.$

Solución: Debemos verificar las dos condiciones:

1. Apliquemos eliminación de Gauss-Jordan para determinar si $u=\left[ \begin{array}{r} x \\ y \end{array} \right]$ es combinación lineal de los vectores de $\mathcal{B}:$ $$\begin{equation*} \left[ \begin{array}{rr|r} 1 & -1 & x \\ 2 & -3 & y \end{array} \right] \stackrel{R_{2}-2R_{1}}{\rightarrow}\left[ \begin{array}{rr|r} 1 & -1 & x \\ 0 & -1 & y-2x \end{array} \right] \stackrel{-R_{2}}{\rightarrow} \left[ \begin{array}{rr|r} 1 & -1 & x \\ 0 & 1 & 2x-y \end{array} \right] \stackrel{R_{1}+R_{2}}{\rightarrow} \left[ \begin{array}{rr|r} 1 & 0 & 3x-y \\ 0 & 1 & 2x-y \end{array} \right]. \end{equation*}$$ Tomando $c_{1}=3x-y$ y $c_{2}=2x-y,$ vemos que $u\in \text{gen}\left( \mathcal{B}\right)$.
2. De la parte anterior tenemos , si $u=\left[ \begin{array}{r} 0 \\ 0 \end{array} \right],$ entonces la única solunción del sistema homogéneo $c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}=0$ es la solución trivial $c_{1}=0$ y $c_{2}=0.$ Luego, $\mathcal{B}$ es linealmente independiente.

De lo anterior concluimos que $\mathcal{B}$ es una base para $\mathbb{R}^{2}$.

Nota: En general, si $\mathcal{B}=\left\{ v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}\right\}$ es un conjunto con $n$ vectores en $\mathbb{R}^{n},$ entonces $\mathcal{B}$ es una base para $\mathbb{R}^{n}$ si la matriz $[v_{1}|v_{2}|\cdots |v_{n}]$ es invertible.

2.Bases para los subespacios asociados con matrices

Teorema: Sean $A$ y $R$ matrices $m\times n$ tales que $R$ es una forma escalonada de $A.$

1. Las filas distintas de cero de $R$ forman una base para $\mathrm{Ren}\left( A\right)$.
2. Los vectores columna de $A,$ que corresponden a las columnas de $R$ con pivotes, forman una base para $\mathrm{Col}\left( A\right).$
3. Resuelva el sistema $RX=0$ y escriba las soluciones como una combinación lineal de $k$ vectores $($donde $k$ es el número de variables libres$).$ Estos $k$ vectores forman una base para $\mathrm{Nul}\left( A\right).$

Ejemplo: $A=\left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 1 & 1 \\ -1 & -2 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & -1 & 0 \end{array} \right]$ y $R=\left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right]$ una forma escalonada de $A.$

Halle bases para $\mathrm{Ren}\left( A\right) ,$ $\text{Col}\left( A\right)$ y $\mathrm{Nul}\left( A\right).$

Solución: Tomando las filas no nulas de $R,$ se tiene que $\mathcal{B}_{1}=\left\{ \left[ \begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right] ,\left[ \begin{array}{r} 0 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right] ,\left[ \begin{array}{r} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right] \right\}$ es base para $\mathrm{Ren}\left( A\right).$
Dado que las columnas con entrada principal en $R$ son las columnas 1, 2 y 4, las correspondientes columnas 1, 2 y 4 de $A$ forman una base para $% \mathrm{Col}(A).$ Esto es, $\mathcal{B}_{2}=\left\{ \left[ \begin{array}{r} 1 \\ -1 \\ 1 \\ -1 \end{array} \right] ,\left[ \begin{array}{r} 1 \\ -2 \\ 1 \\ -1 \end{array} \right] ,\left[ \begin{array}{r} 1 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right] \right\}$ es base para $\mathrm{Col}\left( A\right).$
Por último, resolvamos el sistema $RX=0:$ $$\begin{equation*} \begin{array}{rrrrrrrrr} x & + & y & + & z & + & w & = & 0 \\ & - & y & + & z & & & = & 0 \\ & & & & & & w & = & 0 \end{array} \qquad \Rightarrow \qquad \begin{array}{rrl} x & = & -y-z-w \\ y & = & z \\ w & = & 0 \end{array} \qquad \Rightarrow \qquad \begin{array}{rrr} x & = & -2z \\ y & = & z \\ w & = & 0 \end{array} \end{equation*}$$ Luego, $\mathcal{B}_{3}=\left\{ \left[ \begin{array}{r} -2 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right] \right\}$ es base para $\mathrm{Nul}\left( A\right).$

Ejemplo: Sean $$\begin{equation*} H=\left.\left\{ \begin{bmatrix} a+2b+c \\ -a-b \\ a+b \\ a+2b+c \end{bmatrix} \right| a,b,c\in \mathbb{R}\right\} \qquad \text{y}\qquad W=\left.\left\{ \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{3}\right| \begin{array}{r} x+y+z=0 \\ x+2y+3z=0 \end{array} \right\} . \end{equation*}$$

1. Muestre que $H$ es subespacio de $\mathbb{R}^{4}.$ Halle una base para $H.$
2. Muestre que $W$ es subespacio de $\mathbb{R}^{3}.$ Halle una base para $W.$

Solución:

1. Notemos que $$\begin{equation*} u\in H\qquad \Leftrightarrow \qquad u= \begin{bmatrix} a+2b+c \\ -a-b \\ a+b \\ a+2b+c \end{bmatrix}=a\left[ \begin{array}{r} 1 \\ -1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right] +b\left[ \begin{array}{r} 2 \\ -1 \\ 1 \\ 2 \end{array} \right] +c\left[ \begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right] . \end{equation*}$$ Luego, $$\begin{equation*} H=\mathrm{gen}\left( \left[ \begin{array}{r} 1 \\ -1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right] ,\left[ \begin{array}{r} 2 \\ -1 \\ 1 \\ 2 \end{array} \right] ,\left[ \begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right] \right) =\mathrm{Col}\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ -1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{array} \right] =\mathrm{Col}(A). \end{equation*}$$ Por lo tanto, $H$ es un subespacio de $\mathbb{R}^{4}.$ Para hallar una base para $H,$ aplicamos eliminación Gaussiana a $A:$
   
   $$\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ -1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{array} \right] \rightarrow \cdots \rightarrow \left[ \begin{array}{ccc} \mathbf{1} & 2 & 1 \\ 0 & \mathbf{1} & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right]$$ Así, una base para $H$ es $\left\{ \left[ \begin{array}{r} 1 \\ -1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right] ,\left[ \begin{array}{r} 2 \\ -1 \\ 1 \\ 2 \end{array} \right] \right\}.$
   
   
2. Notemos que $$\begin{equation*} w= \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} \in W\qquad \Leftrightarrow \qquad \begin{array}{r} x+y+z=0 \\ x+2y+3z=0 \end{array} \qquad \Leftrightarrow \qquad \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} \right] \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} =\left[ \begin{array}{r} 0 \\ 0 \end{array} \right] . \end{equation*}$$ Luego, $$\begin{equation*} W=\mathrm{Nul}\left( B\right) ,\qquad \text{donde }B=\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} \right] . \end{equation*}$$ Por tanto, $W$ es un subespacio de $\mathbb{R}^{3}.$ Ahora, resolvamos el sistema $BX=\mathbf{0}$ mediante eliminación de Gauss-Jordan: $$\begin{equation*} \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} \right] \rightarrow \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \end{array} \right] \qquad \Rightarrow \qquad \begin{array}{rrr} x-z & = & 0 \\ y+2z & = & 0 \end{array} \qquad \Rightarrow \qquad \begin{array}{rrr} x & = & z \\ y & = & -2z \end{array} \quad z:\text{ variable libre.} \end{equation*}$$ Por tanto, una base para $W$ es $\left\{ \left[ \begin{array}{r} 1 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right] \right\}$.

Ejercicios de práctica

Te invitamos a practicar los conocimientos aprendidos en esta parte de la clase realizando los siguientes ejercicios.