Clase 12. Parte 1. Bases

1. Bases

Definición: Una base para un subespacio SS de RnRn es un conjunto BB de vectores en SS tal que

  1. S=gen(B)S=gen(B), es decir, los vectores de BB generan a SS,
  2. BB es linealmente independiente.

Ejemplo: Una base para RnRn es el conjunto {e1,e2,…,en},{e1,e2,…,en}, donde ei=[0⋮1⋮0].ei=⎡⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣0⋮1⋮0⎤⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦. Esta base es llamada la base canónica de RnRn.

Ejemplo: Muestre que el conjunto B={v1=[12],v2=[−1−3]}B={v1=[12],v2=[−1−3]} es una base para R2.R2.

Solución: Debemos verificar las dos condiciones:

  1. Apliquemos eliminación de Gauss-Jordan para determinar si u=[xy]u=[xy] es combinación lineal de los vectores de B:B: [1−1x2−3y]R2−2R1→[1−1x0−1y−2x]−R2→[1−1x012x−y]R1+R2→[103x−y012x−y].[1−1x2−3y]R2−2R1→[1−1x0−1y−2x]−R2→[1−1x012x−y]R1+R2→[103x−y012x−y]. Tomando c1=3x−yc1=3x−y y c2=2x−y,c2=2x−y, vemos que u∈gen(B)u∈gen(B).
  2. De la parte anterior tenemos , si u=[00],u=[00], entonces la única solunción del sistema homogéneo c1v1+c2v2=0c1v1+c2v2=0 es la solución trivial c1=0c1=0 y c2=0.c2=0. Luego, BB es linealmente independiente.

De lo anterior concluimos que BB es una base para R2R2.

Nota: En general, si B={v1,v2,…,vn}B={v1,v2,…,vn} es un conjunto con nn vectores en Rn,Rn, entonces BB es una base para RnRn si la matriz [v1|v2|⋯|vn][v1|v2|⋯|vn] es invertible.

2.Bases para los subespacios asociados con matrices

Teorema: Sean AA y RR matrices m×nm×n tales que RR es una forma escalonada de A.A.

  1. Las filas distintas de cero de RR forman una base para Ren(A)Ren(A).
  2. Los vectores columna de A,A, que corresponden a las columnas de RR con pivotes, forman una base para Col(A).Col(A).
  3. Resuelva el sistema RX=0RX=0 y escriba las soluciones como una combinación lineal de kk vectores ((donde kk es el número de variables libres).). Estos kk vectores forman una base para Nul(A).Nul(A).

Ejemplo: A=[1111−1−20−11111−1−1−10]A=⎡⎢ ⎢ ⎢⎣1111−1−20−11111−1−1−10⎤⎥ ⎥ ⎥⎦ y R=[11110−11000010000]R=⎡⎢ ⎢ ⎢⎣11110−11000010000⎤⎥ ⎥ ⎥⎦ una forma escalonada de A.A.

Halle bases para Ren(A),Ren(A), Col(A)Col(A) y Nul(A).Nul(A).

Solución: Tomando las filas no nulas de R,R, se tiene que B1={[1111],[0−110],[0001]}B1=⎧⎪ ⎪ ⎪⎨⎪ ⎪ ⎪⎩⎡⎢ ⎢ ⎢⎣1111⎤⎥ ⎥ ⎥⎦,⎡⎢ ⎢ ⎢⎣0−110⎤⎥ ⎥ ⎥⎦,⎡⎢ ⎢ ⎢⎣0001⎤⎥ ⎥ ⎥⎦⎫⎪ ⎪ ⎪⎬⎪ ⎪ ⎪⎭ es base para Ren(A).Ren(A).
Dado que las columnas con entrada principal en RR son las columnas 1, 2 y 4, las correspondientes columnas 1, 2 y 4 de AA forman una base para Esto es, B2={[1−11−1],[1−21−1],[1−110]}B2=⎧⎪ ⎪ ⎪⎨⎪ ⎪ ⎪⎩⎡⎢ ⎢ ⎢⎣1−11−1⎤⎥ ⎥ ⎥⎦,⎡⎢ ⎢ ⎢⎣1−21−1⎤⎥ ⎥ ⎥⎦,⎡⎢ ⎢ ⎢⎣1−110⎤⎥ ⎥ ⎥⎦⎫⎪ ⎪ ⎪⎬⎪ ⎪ ⎪⎭ es base para Col(A).Col(A).
Por último, resolvamos el sistema RX=0:RX=0: x+y+z+w=0−y+z=0w=0⇒x=−y−z−wy=zw=0⇒x=−2zy=zw=0x+y+z+w=0−y+z=0w=0⇒x=−y−z−wy=zw=0⇒x=−2zy=zw=0 Luego, B3={[−2110]}B3=⎧⎪ ⎪ ⎪⎨⎪ ⎪ ⎪⎩⎡⎢ ⎢ ⎢⎣−2110⎤⎥ ⎥ ⎥⎦⎫⎪ ⎪ ⎪⎬⎪ ⎪ ⎪⎭ es base para Nul(A).Nul(A).


Ejemplo: Sean H={[a+2b+c−a−ba+ba+2b+c]|a,b,c∈R}yW={[xyz]∈R3|x+y+z=0x+2y+3z=0}.H=⎧⎪ ⎪ ⎪⎨⎪ ⎪ ⎪⎩⎡⎢ ⎢ ⎢⎣a+2b+c−a−ba+ba+2b+c⎤⎥ ⎥ ⎥⎦∣∣ ∣ ∣ ∣∣a,b,c∈R⎫⎪ ⎪ ⎪⎬⎪ ⎪ ⎪⎭yW=⎧⎪⎨⎪⎩⎡⎢⎣xyz⎤⎥⎦∈R3∣∣ ∣∣x+y+z=0x+2y+3z=0⎫⎪⎬⎪⎭.

  1. Muestre que HH es subespacio de R4.R4. Halle una base para H.H.
  2. Muestre que WW es subespacio de R3.R3. Halle una base para W.W.

Solución:

      1. Notemos que u∈H⇔u=[a+2b+c−a−ba+ba+2b+c]=a[1−111]+b[2−112]+c[1001].u∈H⇔u=⎡⎢ ⎢ ⎢⎣a+2b+c−a−ba+ba+2b+c⎤⎥ ⎥ ⎥⎦=a⎡⎢ ⎢ ⎢⎣1−111⎤⎥ ⎥ ⎥⎦+b⎡⎢ ⎢ ⎢⎣2−112⎤⎥ ⎥ ⎥⎦+c⎡⎢ ⎢ ⎢⎣1001⎤⎥ ⎥ ⎥⎦. Luego, H=gen([1−111],[2−112],[1001])=Col[121−1−10110121]=Col(A).H=gen⎛⎜ ⎜ ⎜⎝⎡⎢ ⎢ ⎢⎣1−111⎤⎥ ⎥ ⎥⎦,⎡⎢ ⎢ ⎢⎣2−112⎤⎥ ⎥ ⎥⎦,⎡⎢ ⎢ ⎢⎣1001⎤⎥ ⎥ ⎥⎦⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=Col⎡⎢ ⎢ ⎢⎣121−1−10110121⎤⎥ ⎥ ⎥⎦=Col(A). Por lo tanto, HH es un subespacio de R4.R4. Para hallar una base para H,H, aplicamos eliminación Gaussiana a A:A:

        [121−1−10110121]→⋯→[121011000000]⎡⎢ ⎢ ⎢⎣121−1−10110121⎤⎥ ⎥ ⎥⎦→⋯→⎡⎢ ⎢ ⎢⎣121011000000⎤⎥ ⎥ ⎥⎦ Así, una base para HH es {[1−111],[2−112]}.⎧⎪ ⎪ ⎪⎨⎪ ⎪ ⎪⎩⎡⎢ ⎢ ⎢⎣1−111⎤⎥ ⎥ ⎥⎦,⎡⎢ ⎢ ⎢⎣2−112⎤⎥ ⎥ ⎥⎦⎫⎪ ⎪ ⎪⎬⎪ ⎪ ⎪⎭.

      2. Notemos que w=[xyz]∈W⇔x+y+z=0x+2y+3z=0⇔[111123][xyz]=[00].w=⎡⎢⎣xyz⎤⎥⎦∈W⇔x+y+z=0x+2y+3z=0⇔[111123]⎡⎢⎣xyz⎤⎥⎦=[00]. Luego, W=Nul(B),donde B=[111123].W=Nul(B),donde B=[111123]. Por tanto, WW es un subespacio de R3.R3. Ahora, resolvamos el sistema BX=0BX=0 mediante eliminación de Gauss-Jordan: [111123]→[10−1012]⇒x−z=0y+2z=0⇒x=zy=−2zz: variable libre.[111123]→[10−1012]⇒x−z=0y+2z=0⇒x=zy=−2zz: variable libre. Por tanto, una base para WW es {[1−21]}⎧⎪⎨⎪⎩⎡⎢⎣1−21⎤⎥⎦⎫⎪⎬⎪⎭.

Ejercicios de práctica

Te invitamos a practicar los conocimientos aprendidos en esta parte de la clase realizando los siguientes ejercicios.