3.Dimensión y rango

Teorema de la Base: Cualesquiera dos bases de un subespacio $\mathbb{R}^{n}$ tienen el mismo número de vectores.

Definición: Si $S$ es un subespacio de $\mathbb{R}^{n},$ entonces el número de vectores de una base para $S$ se denomina la dimensión de $S,$ denotada por $\dim(S).$

Ejemplo: Como los vectores $e_{1}, e_{2},\dots, e_{n}$ de la base canónica forman una base para $\mathbb{R}^{n}$, entonces $\dim (\mathbb{R}^{n})=n.$

Nota: Sea $A$ una matriz de orden $m\times n$ tal que $\mathrm{Rango}(A)=r.$ Entonces

1. $\dim (\mathrm{Col}(A))=\mathrm{Rango}(A)=r.$
2. $\dim (\mathrm{Ren}(A))=\mathrm{Rango}(A)=r.$
3. $\dim (\mathrm{Nul}(A))=\#$ variables libres $=n-r.$

Teorema: Para cualquier matriz $A:\mathrm{rango}\left( A^{T}\right) =\mathrm{rango} \left( A\right).$

Definición: La nulidad de una matriz $A$ es la dimensión de su espacio nulo y se denota por $\mathrm{nulidad}\left( A\right).$ Por el teorema anterior tenemos que la nulidad coincide con el número de variables libres del sistema homogéneo $Ax=0$.

Teorema del Rango: Si $A$ es una matriz de orden $m\times n,$ entonces $$\mathrm{Rango}\left( A\right)+\mathrm{nulidad}\left( A\right) =n.$$

4. Coordenadas

Teorema: Sea $\mathcal{B}=\left\{ v_{1},v_{2},\ldots ,v_{k}\right\}$ una base para un subespacio $S$ de $\mathbb{R}^{n}.$ Para todo vector $v\in S,$ existe una única manera de escribir a $v$ como combinación lineal de los vectores de $\mathcal{B}:v=c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}+\cdots +c_{k}v_{k}.$

Prueba: Dado que $\mathcal{B}$ es una base para $S,$ $\mathcal{B}$ genera a $S.$ Por lo tanto, cualquier vector en $S,$ se puede escribir como combinación lineal de los vectores de $\mathcal{B}.$ Esto es, $$\begin{equation*} v=c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}+\cdots +c_{k}v_{k}, \text{ para algunos escalares }c_{1},c_{2},...,c_{k}. \end{equation*}$$ Ahora, supongamos que $v$ también se puede escribir como $v=d_{1}v_{1}+d_{2}v_{2}+\cdots +d_{k}v_{k}.$ Luego, $$\begin{equation*} (c_{1}-d_{1})v_{1}+(c_{2}-d_{2})v_{2}+\cdots +(c_{k}-d_{k})v_{k}=\mathbf{0}. \end{equation*}$$ Como $\mathcal{B}$ es linealmente independiente, se tiene que $$\begin{equation*} c_{1}-d_{1}=0,\qquad c_{2}-d_{2}=0,\qquad \ldots \qquad c_{k}-d_{k}=0. \end{equation*}$$ Luego, $c_{1}=d_{1},c_{2}=d_{2},\ldots ,c_{k}=d_{k}.$ Así hay una única forma de escribir a $v$ como combinación lineal de los vectores de $\mathcal{B}.$

Definición: Sea $\mathcal{B}=\left\{ v_{1},v_{2},\ldots ,v_{k}\right\}$ una base para un subespacio $S$ de $\mathbb{R}^{n}.$ Sea $v\in S$ con $v=c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}+\cdots +c_{k}v_{k}.$ Entonces los escalares $c_{1},c_{2},\ldots ,c_{k}$ se denominan coordenadas de $v$ con respecto a $\mathcal{B}.$ El vector columna $$\begin{equation*} \left[ v\right] _{\mathcal{B}}=\left[ \begin{array}{r} c_{1} \\ c_{2} \\ \vdots \\ c_{k} \end{array} \right] \end{equation*}$$ se denomina el vector de coordenadas de $v$ con respecto a $\mathcal{B}.$

Ejemplo: Sean $$\begin{equation*} H=\left.\left\{ \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{3}\right| x-y-z=0\right\} \qquad \text{y}\qquad v=\left[ \begin{array}{r} 1 \\ -1 \\ 2 \end{array} \right] . \end{equation*}$$

1. Muestre que $H$ es un subespacio de $\mathbb{R}^{3}.$
2. Encuentre una base $\mathcal{B}$ para $H.$
3. ¿Es $v$ un elemento de $H?$ En caso afirmativo, halle $\left[ v\right] _{\mathcal{B}}.$
4. Si $\left[ w\right] _{\mathcal{B}}=\left[ \begin{array}{r} 2 \\ -2 \end{array} \right] ,$ encuentre $w.$

Solución:

1. $H$ es el conjunto de todas las soluciones del sistema homogéneo $x-y-z=0.$ Luego $$\begin{equation*} H=\mathrm{Nul}\left( \begin{bmatrix} 1 & -1 & -1 \end{bmatrix} \right). \end{equation*}$$ Por lo cual, $H$ es un subespacio de $\mathbb{R}^{3}.$
2. Notemos que $A$ ya está en forma escalonada reducida. Así, $$\begin{equation*} \left[ \begin{array}{r} x \\ y \\ z \end{array} \right] \in H\qquad \Leftrightarrow \qquad \left[ \begin{array}{r} x \\ y \\ z \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} y+z \\ y \\ z \end{array} \right] =y\left[ \begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right] +\;z\left[ \begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right] \quad y,z:\text{ variables libres.} \end{equation*}$$ Es fácil de verificar que los vectores $$\begin{equation*} v_{1}=\left[ \begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right] \qquad \text{y}\qquad v_{2}=\left[ \begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right] \end{equation*}$$ son linealmente independientes. Podemos concluir que $\mathcal{B}=\left\{ v_{1},v_{2}\right\}$ es una base para $H.$
3. Veamos si $v$ satisface la condición para pertenecer a $H:1-(-1)-2=0.$ Luego, $v\in H.$
   Para encontrar $\left[ v\right] _{\mathcal{B}},$ solucionamos el sistema lineal $\left[ \begin{array}{rr|r} v_{1} & v_{2} & v \end{array} \right] :$ $$\begin{equation*} \left[ \begin{array}{rr|r} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \end{array} \right] \rightarrow \left[ \begin{array}{rr|r} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right] \end{equation*}$$ Como la única solución del sistema es $c_{1}=-1$ y $c_{2}=2,$ tenemos que $\left[ v\right] _{\mathcal{B}}=\left[ \begin{array}{r} -1 \\ 2 \end{array} \right].$
4. Dado que $\left[ w\right] _{\mathcal{B}}=\left[ \begin{array}{r} 2 \\ -2 \end{array} \right] ,$ se sigue que $$\begin{equation*} w=2v_{1}+\left( -2\right) v_{2}=2\left[ \begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right] -2\left[ \begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{r} 0 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right]. \end{equation*}$$

Ejercicios de práctica

Te invitamos a practicar los conocimientos aprendidos en esta parte de la clase realizando los siguientes ejercicios.