1. Transformaciones lineales en $\mathbb{R}^{n}$

Definición: Una transformación lineal de $\mathbb{R}^{n}$ en $\mathbb{R}^{m}$ es una función $T:\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R }^{m}$ que satisface las siguientes condiciones:

1. Para todo $u,v\in \mathbb{R}^{n}:T\left( u+v\right) =T\left( u\right) +T\left( v\right)$.
2. Para todo $u\in \mathbb{R}^{n}$ y todo $c\in \mathbb{R}$ se tiene que $T\left( cu\right) =cT\left( u\right).$

Nota: Usualmente, escribiremos $T\left[ \begin{array}{c} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array} \right]$ en lugar de $T\left( \left[ \begin{array}{c} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array} \right] \right).$

Ejemplo: Veamos que $T:\mathbb{R}^{3}\rightarrow \mathbb{R}^{2}$ dada por $T\left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} x+y \\ x+z \end{array} \right],$ es una transformación lineal.

Solución: Para cualquier par de vectores $u=\left[ \begin{array}{c} x_{1} \\ y_{1} \\ z_{1} \end{array} \right]$ y $v=\left[ \begin{array}{c} x_{2} \\ y_{2} \\ z_{2} \end{array} \right]$ en $\mathbb{R}^{3}$ se cumple que $$\begin{equation*} T\left( u+v\right) =T\left[ \begin{array}{c} x_{1}+x_{2} \\ y_{1}+y_{2} \\ z_{1}+z_{2} \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} \left( x_{1}+x_{2}\right) +\left( y_{1}+y_{2}\right) \\ \left( x_{1}+x_{2}\right) + \left( z_{1}+z_{2}\right) \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} \left( x_{1}+y_{1}\right) +\left( x_{2}+y_{2}\right) \\ \left( x_{1}+z_{1}\right) +\left( x_{2}+z_{2}\right) \end{array} \right] =T\left( u\right) +T\left( v\right). \end{equation*}$$ Lo anterior demuestra que $T(u+v)=T(u)+T(v)$. Supogamos ahora que $c$ es un escalar arbitrario. Entonces $$\begin{equation*} T\left( cu\right) =T\left[ \begin{array}{c} cx_{1} \\ cy_{1} \\ cz_{1} \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} cx_{1}+cy_{1} \\ cx_{1}+cz_{1}\end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} c\left( x_{1}+y_{1}\right) \\ c\left( x_{1}+z_{1}\right) \end{array}\right] =c\left[ \begin{array}{c} x_{1}+y_{1} \\ x_{1}+z_{1}\end{array} \right] =cT\left( u\right). \end{equation*}$$ Por tanto, $T$ es lineal.

Ejemplo: Sea $a\in \mathbb{R}^{3}$ no nulo. Muestre que la función $P:\mathbb{R}^{3}\rightarrow \mathbb{R}^{3},$ dada por $P(u)=\mathrm{proy} _{a}u=\left(\dfrac{u\cdot a}{a\cdot a}\right)a,$ es una transformación lineal.

Solución: Supongamos que $u,v\in \mathbb{R}^{3}$. Utilizando la definición de $P$ tenemos $$\begin{equation*} P\left( u+v\right) =\mathrm{proy}_{a}\left( u+v\right) =\left(\dfrac{\left( u+v\right) \cdot a}{a\cdot a}\right)a =\left( \dfrac{u\cdot a}{a\cdot a}+\dfrac{ v\cdot a}{a\cdot a}\right) a =\left(\dfrac{u\cdot a}{a\cdot a}\right)a+\left(\dfrac{v\cdot a}{ a\cdot a}\right)a=P(u)+P(v). \end{equation*}$$ Por lo tanto $P(u+v)=P(u)+P(v)$. Supongamos ahora que $c$ es un escalar. Utilizando nuevamente la definción se tiene que $$\begin{equation*} P\left( cu\right) =\mathrm{proy}_{a}\left( cu\right) =\left(\dfrac{cu\cdot a}{ a\cdot a}\right)a =\left( c\dfrac{u\cdot a}{a\cdot a}\right) a=c\left( \dfrac{u\cdot a}{a\cdot a}a\right) =cP(u). \end{equation*}$$ Lo anterior demuestra que $T$ es es una transformación lineal.

Ejemplo: Sea $T:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}^{4}$ dada por $T\left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} x+y+1 \\ x \\ y \\ x+y+2 \end{array} \right].$ ¿ Es $T$ una transformación lineal?

Solución: La respuesta es no. Veamos, mediante un contraejemplo adecuado, que la condición 2. de la definición de una transformación lineal falla. Tomemos $u= \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}\right]$ y $c=3.$ Entonces, $$\begin{equation*} T\left( cu\right) =T\left( 3u\right)= T\left[ \begin{array}{c} 3 \\ 3 \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} 3+3+1 \\ 3 \\ 3 \\ 3+3+2 \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} 7 \\ 3 \\ 3 \\ 8 \end{array} \right] \neq \left[ \begin{array}{c} 9 \\ 3 \\ 3 \\ 12 \end{array} \right] =3\left[ \begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 1 \\ 4 \end{array} \right] =3\left[ \begin{array}{c} 1+1+1 \\ 1 \\ 1 \\ 1+1+2 \end{array}\right] =cTu. \end{equation*}$$

Definición: Sea $T:\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}^{m}$ una transformación lineal. Diremos que el dominio de $T$ es $\mathbb{R}^{n}$ y que su codominio es $\mathbb{R}^{m}.$ Para todo $v\in \mathbb{R}^{n},$ decimos que $T(v)$ es la imagen de $v$ bajo $T.$ Por último, definimos la imagen de $T$ como el conjunto $$\begin{equation*} \mathrm{Im}\left( T\right) =\left\{ T\left( v\right) \mid v\in \mathbb{R} ^{n}\right\} =\left\{ w\in \mathbb{R}^{m}\mid w=T\left( v\right) ,\text{ } \mathrm{para}\text{ }\mathrm{algún}\text{ }v\in \mathbb{R} ^{n} \right\} . \end{equation*}$$

Ejercicios de práctica

Te invitamos a practicar los conocimientos aprendidos en esta parte de la clase realizando los siguientes ejercicios.