2. Transformaciones matriciales

Definición: Sea $A$ una matriz de orden $m\times n$. La función $T_{A}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R}^{m},$ dada por $$\begin{equation*} T_{A}\left( u\right) =Au,\qquad \text{para todo }u\in \mathbb{R}^{n}, \end{equation*}$$ se denomina la transformación matricial asociada a $A.$

Teorema: Toda transformación matricial es lineal.

Prueba: Sean $u,v\in \mathbb{R}^{n}$ y $c$ un escalar arbitrarios. Por propiedades del producto matricial, se tiene que $$\begin{equation*} T_{A}\left( u+v\right) =A\left( u+v\right) =Au+Av=T_{A}\left( u\right) +T_{A}\left( v\right) \qquad \text{y}\qquad T_{A}\left( cu\right) =A\left( cu\right) =c\left( Au\right) =cT_{A}\left( u\right) . \end{equation*}$$ Por tanto, $T_{A}$ es lineal.

Ejemplo: Sea $T:\mathbb{R}^{3}\rightarrow \mathbb{R} ^{4}$ dada por $T\left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} x+y+z \\ x-y+z \\ 2y-z \\ x-3z \end{array} \right].$ Muestre que $T$ es una transformación lineal.

Solución: Notemos que $T$ es una transformación matricial: $$\begin{equation*} T\left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right]=\left[ \begin{array}{c} x+y+z \\ x-y+z \\ y-z \\ x-z\end{array} \right] =\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & -3\end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right] . \end{equation*}$$ Por el teorema anterior, $T$ es lineal.

Teorema: Si $T:\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}^{m}$ es una transformación lineal, entonces $T$ es una transformación matricial. Más especificamente, $T=T_{A},$ donde $$\begin{equation*} A=\left[T\left( e_{1}\right) | T\left( e_{2}\right) | \cdots | T\left( e_{n}\right) \right]. \end{equation*}$$

Prueba: Sea $u\in \mathbb{R}^{n}.$ Como $\left\{ e_{1},e_{2},\ldots ,e_{n}\right\}$ es una base para $\mathbb{R}^{n}$ se cumple que $u=c_{1}e_{1}+c_{2}e_{2}+ \cdots +c_{n}e_{n}.$ Dado que $T$ es lineal: $$\begin{equation*} T\left( u\right) = T\left( c_{1}e_{1}+c_{2}e_{2}+\cdots +c_{n}e_{n}\right) =c_{1}T\left( e_{1}\right) +c_{2}T\left( e_{2}\right) +\cdots +c_{n}T\left( e_{n}\right) =Au, \end{equation*}$$ donde $A=\left[T\left( e_{1}\right) | T\left( e_{2}\right) | \cdots | T\left( e_{n}\right)\right].$

Nota: La matriz $A$ se llama la matriz estándar de $T$ y se denotará por $\left[ T\right].$ Esto es, $$\begin{equation*} \left[ T\right] = \left[T\left( e_{1}\right) | T\left( e_{2}\right) | \cdots | T\left( e_{n}\right)\right]. \end{equation*}$$

Ejemplo: Consideremos de nuevo la transformación lineal $T:\mathbb{R}^{3}\rightarrow \mathbb{R}^{4},$ dada por $T\left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} x+y+z \\ x-y+z \\ 2y-z \\ x-3z \end{array} \right].$ Notemos que $$\begin{equation*} Te_{1}=T\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} 1+0+0 \\ 1-0+0 \\ 2\cdot 0-0 \\ 1-3\cdot 0 \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right]. \end{equation*}$$ Similarmente, $$\begin{equation*} Te_{2}=\left[ \begin{array}{r} 1 \\ -1 \\ 2 \\ 0 \end{array} \right] \qquad \text{y}\qquad Te_{3}=\left[ \begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ -1 \\ -3 \end{array} \right]. \end{equation*}$$ Luego, $$\begin{equation*} \left[ T\right] =\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & -3 \end{array} \right]. \end{equation*}$$

Ejercicios de práctica

Te invitamos a practicar los conocimientos aprendidos en esta parte de la clase realizando los siguientes ejercicios.