1. Composición de transformaciones lineales en $\mathbb{R}^{n}$

Definición: Sean $T:\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}^{m}$ y $S:\mathbb{R} ^{m}\rightarrow \mathbb{R}^{p}$ transformaciones lineales. Definimos la compuesta de $S$ y $T$ como la función $S\circ T: \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}^{p},$ dada por \begin{equation*} \left( S\circ T\right) \left( u\right) =S\left( T(u)\right) ,\qquad \text{ para todo } u\in \mathbb{R}^{n}. \end{equation*} Teorema: Si $T:\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}^{m}$ y $S:\mathbb{R}^{m}\rightarrow \mathbb{R}^{p}$ son transformaciones lineales, entonces $S\circ T$ también es una transformación lineal. Además, \begin{equation*} \left[ S\circ T\right] =\left[ S\right] \left[ T\right]. \end{equation*}
Prueba: Sean $u,v\in \mathbb{R}^{n}$ y $c$ un escalar. Como $T$ y $S$ son transformaciones lineales, se tiene que \begin{eqnarray*} \left( S\circ T\right) \left( u+v\right) &=&S\left( T\left( u+v\right) \right) =S\left( Tu+Tv\right) =S\left( Tu\right) +S\left( Tv\right) =\left( S\circ T\right) u+\left( S\circ T\right) v, \\ \left( S\circ T\right) \left( cu\right) &=&S\left( T\left( cu\right) \right) =S\left( c\left( Tu\right) \right) =c\left( S\left( Tu\right) \right) =c\left( S\circ T\right) \left( u\right). \end{eqnarray*} Luego, $S\circ T$ también es lineal. Por otro lado, \begin{equation*} \left( S\circ T\right) u= S\left( Tu\right) =S\left( \left[ T\right] u\right) =\left[ S\right] \left[ T\right] u. \end{equation*} Por lo tanto, $\left[ S\circ T\right] =\left[ S\right] \left[ T\right].$

Ejemplo: Sean $T:\mathbb{R}^{3}\rightarrow \mathbb{R} ^{3}$, $T\left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} x+y \\ y+z \\ x+z \end{array} \right] $ y $S:\mathbb{R}^{3}\rightarrow \mathbb{R}^{4},$ $S\left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} x+y+z \\ 2y+z \\ x-3z \\ x-y-5z \end{array} \right]$ transformaciones lineales.
Halle $\left[ T\right] $ y $\left[ S\right] .$ Además, encuentre $S\circ T$ en forma explícita. En particular, halle $\left( S\circ T\right) \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right].$

Solución: Notemos que $T\left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right] $ y $S\left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & -3 \\ 1 & -1 & -5 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right].$ Por lo tanto, \[ \left[ T\right] =\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1\end{array} \right] \ \ \text{ y }\ \ \left[ S\right] =\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & -3 \\ 1 & -1 & -5 \end{array} \right]. \] Por los teoremas previos, tenemos que \begin{equation*} \left( S\circ T\right) u= \left[ S\circ T\right] u=\left[ S\right] \left[ T \right] \left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & -3 \\ 1 & -1 & -5 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1\end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rrr} 2 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ -2 & 1 & -3 \\ -4 & 0 & -6 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right]. \end{equation*} En forma explícita: \begin{equation*} \left( S\circ T\right) u= \left( S\circ T\right) \left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} 2x+2y+2z \\ x+2y+3z \\ y-2x-3z \\ -4x-6z \end{array} \right]. \end{equation*} En particular, $\left( S\circ T\right) \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} 2+2+2 \\ 1+2+3 \\ 1-2-3 \\ -4-6 \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} 6 \\ 6 \\ -4 \\ -10 \end{array} \right].$

Ejercicios de práctica

Te invitamos a practicar los conocimientos aprendidos en esta parte de la clase realizando los siguientes ejercicios.