2. Inversas de transformaciones lineales en $\mathbb{R}^{n}$

Definición: Sea $T:\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}^{n}$ una transformación lineal. Diremos que $T$ es invertible si existe una transformación lineal $T^{\prime }:\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}^{n}$ tal que $$\begin{equation*} T\circ T^{\prime }=T^{\prime }\circ T=Id_{\mathbb{R}^{n}}, \end{equation*}$$ donde $Id_{\mathbb{R}^{n}}:\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}^{n},$ $Id_{ \mathbb{R}^{n}}\left( v\right) =v,$ es la transformación identidad. La transformación $T^{\prime }$ se denomina la transformación inversa de $T$ y se denota por $T^{-1}.$

Teorema: Si $T:\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}^{n}$ es lineal e invertible, entonces $\left[ T\right]$ es una matriz invertible. Además, $$\left[ T^{-1}\right] =\left[ T\right] ^{-1}.$$
Ejemplo: Muestre que $T:\mathbb{R}^{3}\rightarrow \mathbb{R}^{3}$ dada por $T\left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} x+y \\ y+z \\ x+z \end{array} \right]$ es una transformación lineal invertible. Además, halle $T^{-1}$ explicítamente.

Solución: Escalonemos la matriz estándar de $T:$ $$\begin{equation*} \left[ T\right] = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1\end{array} \right] \rightarrow \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \end{array} \right] \rightarrow \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{array} \right]. \end{equation*}$$ Luego, $\left[ T\right]$ es una matriz invertible y, por tanto, $T$ es una transformación lineal invertible. Se puede verificar que $$\begin{equation*} \left[ T\right] ^{-1}= \dfrac{1}{2}\left[ \begin{array}{rrr} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \end{array} \right] \qquad \text{y}\qquad T^{-1}\left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right] =\left[ T\right] ^{-1}\left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right] =\frac{1}{2}\left[ \begin{array}{c} x-y+z \\ x+y-z \\ y-x+z \end{array} \right]. \end{equation*}$$

Ejemplo: Sea $S:\mathbb{R}^{3}\rightarrow \mathbb{R}^{3}$ dada por $S\left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z\end{array} \right]= \left[ \begin{array}{c} x+y+2z \\ x+y+2z \\ x+y \end{array} \right].$ ¿Es $S$ una transformación lineal invertible?

Solución: Escalonemos la matriz estándar de $S:$ $$\begin{equation*} \left[ S\right] = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 0\end{array} \right] \rightarrow \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{array} \right] \rightarrow \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right]. \end{equation*}$$ Como $\left[ S\right]$ no es una matriz invertible, la transformación $S$ no puede ser invertible.

Ejercicios de práctica

Te invitamos a practicar los conocimientos aprendidos en esta parte de la clase realizando los siguientes ejercicios.